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Hallo,
Zwei Aufgaben, zu denen ich viele Ideen, aber noch kleine Schwierigkeiten habe:
a) Sei $ A [mm] \in \operatorname{Mat}(n, \IQ) [/mm] $ invertierbar mit ganzzahligen Koeffizienten. Zeige, dass die Koeffizienten von $ [mm] A^{-1} [/mm] $ genau dann ganzzahlig sind, wenn $ [mm] \operatorname{det} [/mm] A = [mm] \pm [/mm] 1 $ ist.
b) Sei für $ [mm] \sigma \in \mathfrak{S}_{n} [/mm] $ die Matrix $ [mm] A_{\sigma} [/mm] = [mm] (a_{ij}) \in \operatorname{Mat}(n, [/mm] K) $ gegeben durch $ [mm] a_{ij} [/mm] := [mm] \delta_{i \sigma (j)} [/mm] $ (Permutationsmatrix zu [mm] \sigma [/mm] ). Zeige, dass $ [mm] \operatorname{det} A_{\sigma} [/mm] = [mm] \operatorname{sgn} \sigma [/mm] $.
zu a)
Die "Rückrichtung": Es gilt $ [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\operatorname{det} A} \cdot A^\# [/mm] $, wobei $ [mm] A^\# [/mm] $ die adjungierte (bzw. komplementäre) Matrix darstellen soll. Da die Koeffizienzen von $ [mm] A^\# [/mm] $ ja gerade aus den Determinanten der Teilmatrizen von A entstehen, müssen diese auch alle ganzzahlig sein (das ergibt sich aus der Definition der Determinante). Also folgt aus $ [mm] \operatorname{det} [/mm] A = [mm] \pm [/mm] 1 $, dass auch $ [mm] A^{-1} [/mm] $ ganzzahlige Koeffizienten haben muss.
Ich dachte zunächst, die andere Richtung genauso machen zu können, aber dann kam mir der Gedanke, dass theoretisch ja z.B. $ [mm] \det [/mm] A = 2 $ und zugleich alle Koeffizienten von $ [mm] A^\# [/mm] $ durch 2 teilbar sein könnten. Wie kann ich diese Möglichkeit ausschließen? Oder gibt es einen eleganteren Weg?
zu b)
An Beispielen habe ich mir klargemacht, dass $ [mm] A_{\sigma} [/mm] $ sich durch eine Folge von Zeilenvertauschungen zur Einheitsmatrix $ [mm] E_n [/mm] $ umformen lässt. Schreibt man [mm] \sigma [/mm] als eine Verkettung von Transpositionen, so ist die Anzahl der Transpositionen genau die Anzahl der benötigten Zeilenvertauschungen, um die Einheitsmatrix zu erreichen. Daraus folgt dann die Behauptung (wie man natürlich noch ausführlicher aufschreiben kann).
Mein Problem ist, dass ich das zwar an Beispielen zeigen kann, aber leider daran scheitere, obiges für eine allgemeine nxn-Matrix und beliebige Permutation [mm] \sigma [/mm] zu beweisen. Kann mir irgendjemand sagen, wie ich dabei vorgehen könnte? Oder gibt es auch hier einen eleganteren Weg?
[Wahrscheinlich sind die Antworten sowieso wieder trivial, und ich übersehe das Offensichtliche - wie schon so oft, als ich hier im Forum um Hilfe gebeten habe ... ;)]
Danke,
- Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mi 19.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo,
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> Zwei Aufgaben, zu denen ich viele Ideen, aber noch kleine
> Schwierigkeiten habe:
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> a) Sei [mm]A \in \operatorname{Mat}(n, \IQ)[/mm] invertierbar mit
> ganzzahligen Koeffizienten. Zeige, dass die Koeffizienten
> von [mm]A^{-1}[/mm] genau dann ganzzahlig sind, wenn
> [mm]\operatorname{det} A = \pm 1[/mm] ist.
> b) Sei für [mm]\sigma \in \mathfrak{S}_{n}[/mm] die Matrix
> [mm]A_{\sigma} = (a_{ij}) \in \operatorname{Mat}(n, K)[/mm] gegeben
> durch [mm]a_{ij} := \delta_{i \sigma (j)}[/mm] (Permutationsmatrix
> zu [mm]\sigma[/mm] ). Zeige, dass [mm]\operatorname{det} A_{\sigma} = \operatorname{sgn} \sigma [/mm].
>
>
> zu a)
> Die "Rückrichtung": Es gilt [mm]A^{-1} = \bruch{1}{\operatorname{det} A} \cdot A^\# [/mm],
> wobei [mm]A^\#[/mm] die adjungierte (bzw. komplementäre) Matrix
> darstellen soll. Da die Koeffizienzen von [mm]A^\#[/mm] ja gerade
> aus den Determinanten der Teilmatrizen von A entstehen,
> müssen diese auch alle ganzzahlig sein (das ergibt sich aus
> der Definition der Determinante). Also folgt aus
> [mm]\operatorname{det} A = \pm 1 [/mm], dass auch [mm]A^{-1}[/mm] ganzzahlige
> Koeffizienten haben muss.
> Ich dachte zunächst, die andere Richtung genauso machen zu
> können, aber dann kam mir der Gedanke, dass theoretisch ja
> z.B. [mm]\det A = 2[/mm] und zugleich alle Koeffizienten von [mm]A^\#[/mm]
> durch 2 teilbar sein könnten. Wie kann ich diese
> Möglichkeit ausschließen? Oder gibt es einen eleganteren
> Weg?
Hallo Marcel
Ja es gibt einen eleganten Weg.
Wenn [mm] $A^{-1}$ [/mm] ganzzahlig ist, dann ist [mm] $\det(A^{-1})$ [/mm] auch ganzzahlig. Und wegen [mm] $AA^{-1}=I$ [/mm] muss also [mm] $\det(A)\cdot\det(A^{-1})=1$ [/mm] gelten. Wenn das Produkt zweier ganzzahligen Zahlen 1 ist, dann können die Zahlen nur [mm] $\pm1$ [/mm] sein.
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> zu b)
> An Beispielen habe ich mir klargemacht, dass [mm]A_{\sigma}[/mm]
> sich durch eine Folge von Zeilenvertauschungen zur
> Einheitsmatrix [mm]E_n[/mm] umformen lässt. Schreibt man [mm]\sigma[/mm] als
> eine Verkettung von Transpositionen, so ist die Anzahl der
> Transpositionen genau die Anzahl der benötigten
> Zeilenvertauschungen, um die Einheitsmatrix zu erreichen.
> Daraus folgt dann die Behauptung (wie man natürlich noch
> ausführlicher aufschreiben kann).
> Mein Problem ist, dass ich das zwar an Beispielen zeigen
> kann, aber leider daran scheitere, obiges für eine
> allgemeine nxn-Matrix und beliebige Permutation [mm]\sigma[/mm] zu
> beweisen. Kann mir irgendjemand sagen, wie ich dabei
> vorgehen könnte? Oder gibt es auch hier einen eleganteren
> Weg?
Erinnere dich an die Definition der Determinante:
[mm] $\det(A)=\sum_{\pi\in\mathcal S_n}\mathrm{sgn}(\pi)\prod_i a_{i\pi(i)}$.
[/mm]
Jetzt kannst du dir leicht überlegen, dass für die zu berechnende Matrix alle Produkte oben 0 sind ausser wenn [mm] $\pi=\sigma$. [/mm] Und schon hast du das erwünschte.
mfG Moudi
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> [Wahrscheinlich sind die Antworten sowieso wieder trivial,
> und ich übersehe das Offensichtliche - wie schon so oft,
> als ich hier im Forum um Hilfe gebeten habe ... ;)]
>
> Danke,
> - Marcel
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