Matrizen/Eigenschaften < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:10 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Verknüpfung
[mm] M_{n x n} (\IK) \times M_{n x n} (\IK) [/mm] -> [mm] M_{n x n} (\IK)
[/mm]
(A,B) -> [A,B] :=AB-BA
Zeige dass die Verknüpfung die eigenschaften besitzt:
a) [A,B]= -[B,A]
b) [[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0
c)( [mm] [A,B])^{t}=-[A^t,B^t]
[/mm]
Zeige auch dass der Kommutator ( (A,B) -> [A,B] :=AB-BA ) zweier schiefsymmetrischer Matrizen wieder schiefsymmetrisch ist, dh. aus [mm] A^t=-A [/mm] und [mm] B^t=-B [/mm] folgt stets [mm] [A,B]^t [/mm] =-[A,B] |
a) [A,B]= AB-BA=-BA+AB=-(BA-AB)=-[BA]
b) [AB-BA,C]+[BC-CB,A]+[CA-AC,B]
= (AB-BA)C -C*(AB-BA)+(BC-CB)*A-A*(BC-CB)+(CA-AC)*B-B*(CA-AC)
= ABC-BAC-CAB+CBA+BCA-CBA-ABC+ACB+CAB-ACB-BCA+ACB
Ich kann alles wegstreichen bis auf -BAC+ABC
Was ist falsch?
c) [mm] ([A,B])^t=(AB-BA)^t [/mm] ??
|
|
| |
|
> Verknüpfung
> [mm]M_{n x n} (\IK) \times M_{n x n} (\IK)[/mm] -> [mm]M_{n x n} (\IK)[/mm]
>
> (A,B) -> [A,B] :=AB-BA
> Zeige dass die Verknüpfung die eigenschaften besitzt:
> a) [A,B]= -[B,A]
> b) [[A,B],C]+[[B,C],A]+[[C,A],B]=0
> c)( [mm][A,B])^{t}=-[A^t,B^t][/mm]
>
> Zeige auch dass der Kommutator ( (A,B) -> [A,B] :=AB-BA )
> zweier schiefsymmetrischer Matrizen wieder
> schiefsymmetrisch ist, dh. aus [mm]A^t=-A[/mm] und [mm]B^t=-B[/mm] folgt
> stets [mm][A,B]^t[/mm] =-[A,B]
> a) [A,B]= AB-BA=-BA+AB=-(BA-AB)=-[BA]
> b) [AB-BA,C]+[BC-CB,A]+[CA-AC,B]
> = (AB-BA)C
> -C*(AB-BA)+(BC-CB)*A-A*(BC-CB)+(CA-AC)*B-B*(CA-AC)
> = [mm] ABC-BAC-CAB+CBA+BCA-CBA-ABC+ACB+CAB-ACB-BCA+\red{ACB}
[/mm]
> Ich kann alles wegstreichen bis auf -BAC+ABC
> Was ist falsch?
Hallo,
Dein letzter Summand stimmt nicht.
> c) [mm]([A,B])^t=(AB-BA)^t[/mm] ??
Ja. Und nun mach weiter.
LG Angela
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Lu- |
okay bei b) ist der letze Summand BAC, was sich dann auch alles wegstreichen lässt
> c) $ [mm] ([A,B])^t=(AB-BA)^t [/mm] $ ??
t steht doch für die Transponierte Matrix.
sowohl A als auch B [mm] \in M_{n \times n} (\IK)
[/mm]
Soll ich nun da die Indizes dazuschreiben bei den Matrizen [mm] (AB)_{nn} [/mm] ?
Ixch weiß tr(AB) = tr(BA)
|
|
|
| |
|
> > c) [mm]([A,B])^t=(AB-BA)^t[/mm] ??
> t steht doch für die Transponierte Matrix.
Hallo,
ja.
>
> sowohl A als auch B [mm]\in M_{n \times n} (\IK)[/mm]
> Soll ich nun
> da die Indizes dazuschreiben bei den Matrizen [mm](AB)_{nn}[/mm] ?
> Ixch weiß tr(AB) = tr(BA)
??? Was soll das tr jetzt bedeuten? tr steht normalerweise für die Spurabbildung.
Du solltest lieber mal nachschlagen, welche regeln fürs Transponieren gelten...
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Lu- |
> c) $ [mm] ([A,B])^t=(AB-BA)^t [/mm] $ ??
Hab mich vertan.
Es gilt [mm] (A_{ij})^t [/mm] = [mm] A_{ji}
[/mm]
Also muss ich indizes einführen in mein BSp ?
LG
|
|
|
| |
|
> > c) [mm]([A,B])^t=(AB-BA)^t[/mm] ??
>
> Hab mich vertan.
> Es gilt [mm](A_{ij})^t[/mm] = [mm]A_{ji}[/mm]
> Also muss ich indizes einführen in mein BSp ?
Hallo,
nein.
Es ist natürlich gut, daß Du weißt, was "transonieren" bedeutet, aber
Du mußt nun endlich nachschlagen, welche Regeln fürs Rechnen mit Matrizen gelten, insbesondere fürs Transponieren.
Das kann doch nicht so schwer sein.
LG Angela
>
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Lu- |
> > c) $ [mm] ([A,B])^t=(AB-BA)^t [/mm] $ ??
Meintest du diese Regel: [mm] (AB)^t [/mm] = [mm] B^t A^t
[/mm]
Aber bei meinen Bsp hab ich keine Multiplikation sondern eine Subtraktion
|
|
|
| |
|
Hallo,
ja, z.B. meinte ich die von Dir genannte Regel.
Mannomann, irgendwie bist Du etwas schwerfällig...
Wie wär's, wenn Du mal über die Subraktion nachdenken oder in der wikipedia den Artikel über "Matrix" durchlesen würdest?
Hallo? Kindergarten ist vorbei, wir sind in der Hochschule angekommen...
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Sa 21.01.2012 | | Autor: | Lu- |
Danke für deine kompetente hilfe .
|
|
|
|
