4.)Die symmetrische Matrix A sei positiv definit ( Mein Lieblingsthema der letzten Tage ) .Dann gilt
I.) [mm] A^{-1} [/mm] ist positiv definit
II.) [mm] A^{-1} [/mm] ist negativ definit
[mm] III.)A^{-1} [/mm] ist indefinit
IV.) A muß nicht invertierbar sein.
Aufgabe: Welche dieser Aussagen stimmt?
Wie fängt man sowas an??
> 4.)Die symmetrische Matrix A sei positiv definit ( Mein
> Lieblingsthema der letzten Tage ) .Dann gilt
> I.) [mm]A^{-1}[/mm] ist positiv definit
> II.) [mm]A^{-1}[/mm] ist negativ definit
> [mm]III.)A^{-1}[/mm] ist indefinit
> IV.) A muß nicht invertierbar sein.
> Aufgabe: Welche dieser Aussagen stimmt?
> Wie fängt man sowas an??
Wenn du Aufgabe 3 gelöst hast, wirst du sehen, dass die Aussage I. richtig ist.
Warum?
Da $A$ symmetrisch und positiv definit ist, hat $A$ nur positive Eigenwerte und ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix, auf deren Diagonale nur positive Einträge (die Eigenwerte eben) stehen.
Um zu zeigen, dass auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] positiv ist, genügt es zu zeigen, dass auch [mm] $A^{-1}$ [/mm] ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist, auf deren Diagonale nur positive Einträge stehen. Dann hat nämlich [mm] $A^{-1}$ [/mm] nur positive Eigenwerte und ist somit als symmetrische Matrix mit positiven Eigenwerte positiv definit.
Wie könnte man das nun mit Hilfe von Aufgabe 3 zeigen? Hast du eine Idee?
) .Dann gilt
