Matrizen, Rang einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 So 28.11.2010 | | Autor: | Lotl89 |
| Aufgabe | Seien [mm] \alpha, \beta \in [/mm] R. Schreiben Sie das lineare Gleichungssystem
2y + [mm] \alpha [/mm] z = 0
x + y + z = [mm] \beta
[/mm]
2x − 2y + z = 0
in eine Matrixgleichung Ax = b um und bestimmen Sie mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren (bitte jede Elementarumformung angeben!) in Abhängigkeit von /alpha und /beta:
(i) Den Rang der Matrix A und der erweiterten Matrix (A|b).
(ii) Die Anzahl der Lösungen von Ax = b mittels des Rangkriteriums.
D.h. gibt es keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen?
(iii) Die Lösungen von Ax = b |
Hallo,
habe das LGS nun erstmal nach Gauß umgeformt:
x + y + z = [mm] \beta
[/mm]
2y + [mm] \alpha [/mm] z = 0
[mm] (2\alpha [/mm] - 1)z = [mm] -2\beta
[/mm]
(i) Somit kann man ja an der Treppenform sehen, dass die Matrix A den Rang (A)= 3 hat... aber welches is dann des Rang der erweiterten Matrix? müsste dann doch auch Rang=3 sein?
(ii) hier komme ich nicht weiter, da ich mit dem begriff rangkriterium nichts anzufangen weiss....
(iii) anzahl der Lösungen hängen doch von der wahl des jeweiligen [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ab oder?
schon mal vielen dank für eure hilfe!
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Hallo Lotl89,
ich nehme an, dass es sich um ein Gleichungssystem über einem Körper $R$ handelt!
> Seien [mm]\alpha, \beta \in[/mm] R. Schreiben Sie das lineare
> Gleichungssystem
> 2y + [mm]\alpha[/mm] z = 0
> x + y + z = [mm]\beta[/mm]
> 2x − 2y + z = 0
>
> in eine Matrixgleichung Ax = b um und bestimmen Sie mit
> Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren (bitte jede
> Elementarumformung angeben!) in Abhängigkeit von /alpha
> und /beta:
>
> (i) Den Rang der Matrix A und der erweiterten Matrix
> (A|b).
>
> (ii) Die Anzahl der Lösungen von Ax = b mittels des
> Rangkriteriums.
> D.h. gibt es keine, genau eine oder unendlich viele
> Lösungen?
>
> (iii) Die Lösungen von Ax = b
>
>
> Hallo,
>
> habe das LGS nun erstmal nach Gauß umgeformt:
>
> x + y + z = [mm]\beta[/mm]
> 2y + [mm]\alpha[/mm] z = 0
> [mm](2\alpha[/mm] - 1)z = [mm]-2\beta[/mm]
>
> (i) Somit kann man ja an der Treppenform sehen, dass die
> Matrix A den Rang (A)= 3 hat... aber welches is dann des
> Rang der erweiterten Matrix? müsste dann doch auch Rang=3
> sein?
Nein, ganz so einfach ist es nicht!
Der Rang von $A$ hängt von [mm] $\alpha$ [/mm] ab! Der Rang der erweiterten Matrix hängt von [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] ab.
>
> (ii) hier komme ich nicht weiter, da ich mit dem begriff
> rangkriterium nichts anzufangen weiss....
Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn die Matrix denselben Rang wie die erweiterte Matrix hat.
>
> (iii) anzahl der Lösungen hängen doch von der wahl des
> jeweiligen [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] ab oder?
Ja.
>
> schon mal vielen dank für eure hilfe!
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 28.11.2010 | | Autor: | Lotl89 |
Hallo, also ich habe das jetzt mal so angewendet. Hoffe dass meine Lösungen stimmen:
(i) + (ii)
1.) Wenn [mm] \alpha [/mm] = 1 ist Rang (A)=2
Wenn [mm] \alpha [/mm] = 1 und [mm] \beta [/mm] = 0 ist Rang (Alb)= 2
Rang (A) und Rang (AlB) sind gleich, das LGS ist also lösbar. Da das LGS nun unterbestimmt ist, gibt es unendlich viele Lösungen
2.) Wenn [mm] \alpha \not= [/mm] 1 ist Rang (A) = 3
Wenn [mm] \alpha \not= [/mm] 1 ist Rang (AlB) = 3 [mm] \beta [/mm] ist hier beliebig
Rang (A) und Rang (AlB) sind gleich, das LGS ist hier also eindeutig lösbar.
3.) Wenn [mm] \alpha [/mm] =1 und Rang (A) = 2 , [mm] \beta \not= [/mm] 0 und Rang (AlB) = 3, ist das Rangkriterium nicht erfüllt und somit gibt es hier keine Lösung
(iii) Somit gibt es bei [mm] \alpha [/mm] =1 und [mm] \beta [/mm] =0 unendlich viele Lösungen, die auf einer Geraden liegen.
Bei [mm] \alpha \not= [/mm] 1 gibt es genau eine Lösung, die von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] abhängt.
Bei [mm] \alpha [/mm] =1 und [mm] \beta \not= [/mm] 0 gibt es keine Lösung.
Hoffe alles stimmt hier?
Vielen Dank nochmal ;)
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Hallo Lotl89!
Eine kleine Korrektur musst Du noch machen:
Nach Deiner bisherigen Rechnung (die schien mir zu stimmen) muss im Folgenden $1$ durch [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ersetzt werden!
> Hallo, also ich habe das jetzt mal so angewendet. Hoffe
> dass meine Lösungen stimmen:
>
> (i) + (ii)
> 1.) Wenn [mm]\alpha[/mm] = 1 ist Rang (A)=2
> Wenn [mm]\alpha[/mm] = 1 und [mm]\beta[/mm] = 0 ist Rang (Alb)= 2
>
> Rang (A) und Rang (AlB) sind gleich, das LGS ist also
> lösbar. Da das LGS nun unterbestimmt ist, gibt es
> unendlich viele Lösungen
>
> 2.) Wenn [mm]\alpha \not=[/mm] 1 ist Rang (A) = 3
> Wenn [mm]\alpha \not=[/mm] 1 ist Rang (AlB) = 3 [mm]\beta[/mm] ist
> hier beliebig
>
> Rang (A) und Rang (AlB) sind gleich, das LGS ist hier also
> eindeutig lösbar.
>
> 3.) Wenn [mm]\alpha[/mm] =1 und Rang (A) = 2 , [mm]\beta \not=[/mm] 0 und
> Rang (AlB) = 3, ist das Rangkriterium nicht erfüllt und
> somit gibt es hier keine Lösung
>
> (iii) Somit gibt es bei [mm]\alpha[/mm] =1 und [mm]\beta[/mm] =0 unendlich
> viele Lösungen, die auf einer Geraden liegen.
>
> Bei [mm]\alpha \not=[/mm] 1 gibt es genau eine Lösung, die von
> [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] abhängt.
>
> Bei [mm]\alpha[/mm] =1 und [mm]\beta \not=[/mm] 0 gibt es keine Lösung.
>
> Hoffe alles stimmt hier?
>
> Vielen Dank nochmal ;)
Das sieht für mich etwas verworren aber bis auf die $1$ richtig aus.
Ich hoffe, dass Du die Lösungen für (iii) auch ausgerechnet hast.
LG mathfunnel
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