Matrizen/Strukturtafeln < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Di 22.07.2008 | | Autor: | callie |
| Aufgabe | Menge der binären (2x2)-Matrizen:
[mm] {\pmat{ a11 & a12 \\ a21 & a22 }| aij \in \IZ2 'fuer alle' i,j=1,2}
[/mm]
[Definitionen für die Matrizen-Addition und -Multiplikation]
1)Bestimmen Sie alle Elemente von M
2)Berechnen Sie die Strukturtafeln der Verknüpfungen
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sorry, für die schlecht Darstellung :) Ich hoffe, irgendjemand versteht, was ich meine.
1) Da würde ich jetzt mal alle Möglichkeiten aufzählen, die 1 und die 0 in der 2x2 Matrix anzuordnen. Ist das richtig?
2) Ich hab leider keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll. Irgendwelche Tipps? Muss ich das für beide Verknüpfungen machen? Wieviele Tafeln wären das denn?
|
|
| |
|
> Menge der binären (2x2)-Matrizen:
>
> [mm]{\pmat{ a11 & a12 \\ a21 & a22 }| aij \in \IZ2 'fuer alle' i,j=1,2}[/mm]
>
>
>
> [Definitionen für die Matrizen-Addition und
> -Multiplikation]
>
> 1)Bestimmen Sie alle Elemente von M
> 2)Berechnen Sie die Strukturtafeln der Verknüpfungen
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Sorry, für die schlecht Darstellung :) Ich hoffe,
> irgendjemand versteht, was ich meine.
>
> 1) Da würde ich jetzt mal alle Möglichkeiten aufzählen, die
> 1 und die 0 in der 2x2 Matrix anzuordnen. Ist das richtig?
Du kannst jedem der 4 Einträge [mm] $a_{ij}$ [/mm] einer Matrix aus $M$, unabhängig von den anderen Einträgen, einen von 2 möglichen Werten zuordnen: ergibt [mm] $2^4=16$ [/mm] Möglichkeiten (Kombinatorik). Diese 16 Matrizen kannst Du hinschreiben, wie Du eine vierstellige Binärzahl hochzählen würdest: $0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, [mm] \ldots, [/mm] 1100, 1101, 1110, 1111$.
> 2) Ich hab leider keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll.
> Irgendwelche Tipps? Muss ich das für beide Verknüpfungen
> machen? Wieviele Tafeln wären das denn?
Zwei: eine für die Addition, einen zweite für die Multiplikation von zwei Elementen aus $M$. Jede Tafel hat im Prinzip die Grösse [mm] $16\times [/mm] 16$, da die beiden Summanden bzw. Faktoren ja aus den $|M|=16$ Matrizen unabhängig voneinander ausgewählt werden können.
Die Addition ist natürlich kommutativ, was zu einer offensichtlichen Symmetrie der Verknüpfungstafel für diese Operation führt. Bei der Multiplikation ist das nicht so.
(Das ![[]](/images/popup.gif) Beispiel der Wikipedia ist insofern Müll, als nicht klargestellt wird, ob der erste oder der zweite Operand als Zeilen bzw. Spaltenindex der Verknüpfungstafel gewählt wurde: ich würde den Wert des ersten Operanden als Zeilenindex, den Wert des zweiten als Spaltenindex dieser Tafel verwenden. Bei einer kommutativen Verknüpfung, wie der Addition, ist dies nicht wichtig, bei der nicht-kommutativen Matrixmultiplikation hingegen schon).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Di 22.07.2008 | | Autor: | callie |
Danke:)
Okay, die 1) hätte ich so gemacht
Die 2) ist ja dann relativ viel Arbeit, weil man jede Matrix mit allen anderen addieren/multiplizieren muss um die Strukturtafeln zu füllen, oder?
|
|
|
| |
|
> Danke:)
>
> Okay, die 1) hätte ich so gemacht
>
> Die 2) ist ja dann relativ viel Arbeit, weil man jede
> Matrix mit allen anderen addieren/multiplizieren muss um
> die Strukturtafeln zu füllen, oder?
Die Matrixmultiplikation ist zwar nicht kommutativ, sie ist aber assoziativ. Du kannst ja mal überlegen, ob Dir dieses Wissen beim Erstellen der Tafel hilft.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Di 22.07.2008 | | Autor: | callie |
hmmmm.... ich steh wohl auf dem Schlauch. Ich multipliziere doch immer nur zwei Matrizen, inwiefern hilft mir das die Assoziativität [mm] O_o
[/mm]
Magst du noch einen kleinen Tipp geben?
|
|
|
| |
|
> hmmmm.... ich steh wohl auf dem Schlauch. Ich multipliziere
> doch immer nur zwei Matrizen, inwiefern hilft mir das die
> Assoziativität [mm]O_o[/mm]
> Magst du noch einen kleinen Tipp geben?
Angenommen Du hast die Produkte [mm] $A\circ [/mm] B$ und [mm] $B\circ [/mm] C$ schon berechnet, dann musst Du von den Produkten [mm] $(A\circ B)\circ [/mm] C$ und [mm] $A\circ (B\circ [/mm] C)$ nur eines ausrechnen, weil beide denselben Wert haben. Es muss natürlich nicht sein, dass Du so für eine Rechnung zwei Einträge in Deiner Tabelle erhältst, aber es kann sein.
Ich frage mich gerade, ob die Einschränkung auf [mm] $\IZ$ [/mm] modulo 2 eventuell eine weitere Rechenerleichterung liefern würde - habe aber zur Zeit keine gute Idee.
|
|
|
|
