Matrizen Vektorraum < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 Di 13.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll nachweisen ,dass die Menge aller Matrizen der Gestalt [mm] \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }
[/mm]
einen Vektorraum bilden. Danach soll noch eine Basis für diesen VR angegeben werden .
ich habe zuerst versucht es mit den Vektorraumkriterien zu lösen aber bin mir nicht so sicher.
Ein Axiom besagt doch [mm] \lambda*(x+y)=\lambda*x+\lambda*y
[/mm]
Umgelegt auf mein Bsp müsste das doch so ausschauen:
[mm] \lambda*[\vektor{a\\ 0\\ b}+\vektor{0\\a+b\\0}]=\lambda*\vektor{a\\ 0\\ b}+\lambda*\vektor{0\\a+b\\0}
[/mm]
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> Hallo,
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> Ich soll nachweisen ,dass die Menge aller Matrizeen einen
> Vektorraum bildet und danach eine Basis angeben.
>
> [mm]\pmat{ a & 0 & a \\
0 & a+b & 0\\
b & 0 & a }[/mm]
Hallo,
bevor hier irgendetwas geschieht, poste bitte die Aufgabe im Originalwortlaut mit allem Drum und Dran.
Ich denke zwar, daß ich sie erraten könnte, aber das ist ja nicht Sinn der Sache.
Du kannst Aufgaben nicht lösen, solange Du die Aufgabe so wenig verstanden hast, daß es schon an der korrekten Wiedergabe des Aufgabentextes scheitert.
LG Angela
>
> ich habe zuerst versucht es mit den Vektorraumkriterien zu
> lösen aber bin mir nicht so sicher.
>
> Ein Axiom besagt doch [mm]\lambda*(x+y)=\lambda*x+\lambda*y[/mm]
>
> Umgelegt auf mein Bsp müsste das doch so ausschauen:
>
> [mm]\lambda*[\vektor{a\\
0\\
b}+\vektor{0\\
a+b\\
0}]=\lambda*\vektor{a\\
0\\
b}+\lambda*\vektor{0\\
a+b\\
0}[/mm]
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Di 13.03.2012 | | Autor: | Denis92 |
Hey,
der Ansatz über die Vektorraumaxiome ist richtig, das geht immer.
In deinem Ansatz wählst du zwei Elemente aus diesem Vektorraum. Wie sehen die Elemente, seien es A und A', denn aus?
Das sind ja genau zwei Matrizen vom genannten Typ. D.h. dein Ansatz mit den zwei Vektoren ist falsch.
Richtig wäre:
Seien A, A' [mm] \element [/mm] {M' [mm] M_{3,3}(K) [/mm] | M' hat die gewünschte Gestalt für a,b [mm] \element \IR}
[/mm]
[mm] \lambda(A [/mm] + A') = ...
Probier es mal damit!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Di 13.03.2012 | | Autor: | racy90 |
also so:
[mm] \lambda*(A+A')=\lambda*A+\lambda*A'
[/mm]
[mm] (\lambda+\mu)*A=\lambda*A+\mu*A
[/mm]
1*A=A
[mm] (\lambda*\mu)*A=\lambda*(\mu*A)
[/mm]
und wie sieht die Matrix A' aus damit ich es nachkontrollieren kann?
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Hallo racy90,
> also so:
>
> [mm]\lambda*(A+A')=\lambda*A+\lambda*A'[/mm]
>
> [mm](\lambda+\mu)*A=\lambda*A+\mu*A[/mm]
>
> 1*A=A
>
> [mm](\lambda*\mu)*A=\lambda*(\mu*A)[/mm]
>
> und wie sieht die Matrix A' aus damit ich es
> nachkontrollieren kann?
[mm]A'=\pmat{ a' & 0 & a' \\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Di 13.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay habe das soweit mal überprüft
Wenn nun zb. die Matrix so aussehen würde [mm] \pmat{ a & 0 & a \\ 17 & a+b & 0\\ b & 0 & a}
[/mm]
würde dieses Axiom nicht gelten oder [mm] \lambda\cdot{}(A+A')=\lambda\cdot{}A+\lambda\cdot{}A' [/mm] weil ich dann einmal [mm] 34\lambda [/mm] stehen hätte und beim anderen mal [mm] 68\lambda?
[/mm]
Hoffe das stimmt so
Wie bekomme ich nun für die erste Matrix eine Basis für den Vektorraum?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wenn nun zb. die Matrix so aussehen würde [mm]\pmat{ a & 0 & a \\ 17 & a+b & 0\\ b & 0 & a}[/mm]
Diese Matrix hat doch gar nicht die in der Aufgabenstellung beschriebene Gestalt! Die dort beschriebenen Matrizen haben in der ersten Spalte der zweiten Zeile eine 0.
> würde dieses Axiom nicht gelten oder
> [mm]\lambda\cdot{}(A+A')=\lambda\cdot{}A+\lambda\cdot{}A'[/mm] weil
> ich dann einmal [mm]34\lambda[/mm] stehen hätte und beim anderen
> mal [mm]68\lambda?[/mm]
Woher kommen diese Werte? Gehst du von A'=A aus?
> Wie bekomme ich nun für die erste Matrix eine Basis für
> den Vektorraum?
Gesucht ist nicht eine Basis für eine bestimmte Matrix (was soll das heißen?), sondern eine Basis des in der Aufgabenstellung beschriebenen Vektorraumes.
Gib am besten zunächst mal ein konkretes Beispiel für eine Matrix von der Form aus der Aufgabenstellung an.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo racy,
noch immer hast du offensichtlich nicht die vollständige Aufgabenstellung angegeben. Meine Kristallkugel, die ich deshalb danach befragt habe, ist sich unsicher, ob a und b aus einem beliebigen Körper K stammen sollen, oder reelle Zahlen sein sollen... Ich nehme jetzt einfach mal an, es handelt sich dabei um reelle Zahlen.
Bevor es Sinn macht, sich einzelnen Vektorraumaxiomen zuzuwenden, muss man sich erst einmal Gedanken machen, mit welcher Addition + und welcher skalaren Multiplikation [mm] $\cdot$ [/mm] die Menge V (so möchte ich sie ab sofort nennen) der 3x3-Matrizen von der angegebenen Gestalt denn überhaupt ein Vektorraum sein könnte.
Naheliegende Idee: Wir nehmen die übliche Addition von 3x3-Matrizen. Aber Halt! In der Definition von V ein Vektorraum ist gefordert, dass die Addition je zwei Elementen von V ein Element von V zuordnet. Wir müssen also zunächst prüfen, ob die Summe zweier Matrizen aus V gemäß der üblichen Matrizenaddition überhaupt stets wieder ein Element von V ergibt!
Mach du dir am besten die gleichen Gedanken zur skalaren Multiplikation!
Wenn diese Dinge geklärt sind, kannst du dich den Vektorraumaxiomen zuwenden. Einige davon hast du hier aufgelistet:
> [mm]\lambda*(A+A')=\lambda*A+\lambda*A'[/mm]
>
> [mm](\lambda+\mu)*A=\lambda*A+\mu*A[/mm]
>
> 1*A=A
>
> [mm](\lambda*\mu)*A=\lambda*(\mu*A)[/mm]
Dass dies tatsächlich für alle reellen Zahlen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] und alle [mm] $A,A'\in [/mm] V$ gilt, ist zu beweisen!
Die gute Nachricht: Wahrscheinlich wisst ihr schon, dass diese Regeln für beliebige 3x3-Matrizen A,A' gelten. Also gelten sie insbesondere für [mm] $A,A'\in [/mm] V$.
Bleiben noch die übrigen Axiome zu verifizieren.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 13.03.2012 | | Autor: | racy90 |
1. ja a und b sind reell
Stimmt das also nicht [mm] \lambda*[ \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }]=\lambda*\pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\lambda*\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }
[/mm]
und die anderen Axiome sind ebenfalls meiner Meinung richtig.
Welche Axiome sind denn noch zu überprüfen?
Die Matrix [mm] \pmat{ a & 0 & a \\ 17 & a+b & 0\\ b & 0 & a} [/mm] ist ein Unterpunkt von dem Bsp wo ich dann zeigen soll das die Menge aller Matrizen dieser Gestalt keinen Vektorraum bildet.
Aber zuerst sollte ich mal die erste Matrix überprüfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Stimmt das also nicht [mm]\lambda*[ \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }]=\lambda*\pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\lambda*\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }[/mm]
Doch. Aber warum? Wie von mir in der vorherigen Antwort beschrieben, könntest du es damit begründen, dass ihr in der Vorlesung eine entsprechende Rechenregel für beliebige Matrizen schon hattet (wenn dem denn so ist). Ansonsten müsstest du beide Seiten der behaupteten Gleichung ausrechnen.
> Welche Axiome sind denn noch zu überprüfen?
Dass die Menge V der 3x3-Matrizen der speziellen Gestalt aus der Aufgabenstellung eine abelsche Gruppe bezüglich der Addition bildet. Falls ihr den Begriff einer abelschen Gruppe nicht hattet, sind die Axiome vermutlich ähnlich wie folgt notiert:
Für alle [mm] A,A',A''\in [/mm] V gilt A+A'=A'+A und (A+A')+A''=A+(A'+A'').
Es existiert ein Element [mm] 0\in [/mm] V mit 0+A=A für alle [mm] A\in [/mm] V, so dass für alle [mm] A\in [/mm] V ein [mm] A'\in [/mm] V existiert mit A+A'=0.
Falls du das in der Definition eines Vektorraumes nicht wiedererkennst, poste bitte eure Definition.
> Die Matrix [mm]\pmat{ a & 0 & a \\ 17 & a+b & 0\\ b & 0 & a}[/mm]
> ist ein Unterpunkt von dem Bsp wo ich dann zeigen soll das
> die Menge aller Matrizen dieser Gestalt keinen Vektorraum
> bildet.
Achso, neue Aufgabe. Wenn du sie hier besprechen willst, gib bitte die komplette Aufgabenstellung an.
Ich schrieb in der letzten Antwort:
> Bevor es Sinn macht, sich einzelnen Vektorraumaxiomen zuzuwenden,
> muss man sich erst einmal Gedanken machen, mit welcher Addition +
> und welcher skalaren Multiplikation die Menge V (so möchte ich sie ab
> sofort nennen) der 3x3-Matrizen von der angegebenen Gestalt denn
> überhaupt ein Vektorraum sein könnte.
>
> Naheliegende Idee: Wir nehmen die übliche Addition von 3x3-Matrizen.
> Aber Halt! In der Definition von V ein Vektorraum ist gefordert, dass die
> Addition je zwei Elementen von V ein Element von V zuordnet. Wir
> müssen also zunächst prüfen, ob die Summe zweier Matrizen aus V
> gemäß der üblichen Matrizenaddition überhaupt stets wieder ein
> Element von V ergibt!
Diese Gedanken sind entscheidender Bestandteil einer Lösung. Ohne solche Gedanken wirst du auch die neue Aufgabe nicht lösen können.
Kannst du ihnen folgen? Hast du eine Idee, wie du prüfen kannst, ob die Summe A+A' zweier Matrizen [mm] A,A'\in [/mm] V wieder ein Element von V ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Di 13.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Ich wüsste gerade nicht welche Regel,vielleicht kenne ich sie aber kann sie nicht mit dem Bsp "verbinden"
das habe ich schon ausgerechnet [mm] \lambda\cdot{}[ \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }]=\lambda\cdot{}\pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\lambda\cdot{}\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' } [/mm] und es ist korrekt
> Kannst du ihnen folgen? Hast du eine Idee, wie du prüfen
> kannst, ob die Summe A+A' zweier Matrizen [mm]A,A'\in[/mm] V wieder
> ein Element von V ist?
Nein leider das ist mir nicht bekannt :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich wüsste gerade nicht welche Regel,vielleicht kenne ich
> sie aber kann sie nicht mit dem Bsp "verbinden"
Auf welchen Teil meiner Antwort bezieht sich das?
> das habe ich schon ausgerechnet [mm]\lambda\cdot{}[ \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }]=\lambda\cdot{}\pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\lambda\cdot{}\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }[/mm]
> und es ist korrekt
O.K.
> > Kannst du ihnen folgen? Hast du eine Idee, wie du prüfen
> > kannst, ob die Summe A+A' zweier Matrizen [mm]A,A'\in[/mm] V wieder
> > ein Element von V ist?
>
> Nein leider das ist mir nicht bekannt :/
Falls du mir nicht folgen konntest, poste mal den Anfang eurer Definition eines Vektorraumes (die zig Axiome kannst du dir dabei sparen, nur das, was darüber steht).
Sei [mm] A=\pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a } [/mm] und [mm] A'=\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }
[/mm]
für gewisse reelle Zahlen a,b,a',b'.
Zu zeigen ist [mm] A+A'\in [/mm] V, also dass A+A' die Gestalt aus der Aufgabenstellung hat, also dass reelle Zahlen a'',b'' existieren mit
(*) [mm] A+A'=\pmat{ a'' & 0 & a''\\ 0 & a''+b'' & 0\\ b'' & 0 & a'' }.
[/mm]
Rechne dazu A+A' aus. Welche Zahlen a'' und b'' bezeugen also das Gewünschte (d.h. erfüllen die Gleichung (*))?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Di 13.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Sei K ein Körper und (V,+) eine abelsche Gruppe,Weiters,werde jedem [mm] \lambda \in [/mm] K und x [mm] \in [/mm] V ein Produkt [mm] \lambda*x \in [/mm] V zugeordnet.Die algebraische Struktur heißt Vektorraum über K wenn folgende Axoime erfüllt sind.
Wenn ich [mm] \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' } [/mm] rechne wieso kommt dann a'' und b'' heraus.
Ich hätte gedacht es kommt a+a' heraus usw..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mi 14.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Sei K ein Körper und (V,+) eine abelsche
> Gruppe,Weiters,werde jedem [mm]\lambda \in[/mm] K und x [mm]\in[/mm] V ein
> Produkt [mm]\lambda*x \in[/mm] V zugeordnet.Die algebraische
> Struktur heißt Vektorraum über K wenn folgende Axoime
> erfüllt sind.
Super! Nehmen wir das Beispiel der skalaren Multiplikation [mm] \cdot: [/mm] In eurer Definition eines Vektorraumes steht, dass [mm] \lambda\cdot x\in [/mm] V gelten muss, also dass das Produkt [mm] \lambda\cdot [/mm] x stets ein Element von V sein muss.
In unserem Beispiel muss also für [mm] \lambda\in K=\IR [/mm] und [mm] A\in [/mm] V auch [mm] \lambda\cdot A\in [/mm] V gelten, wobei V hier die Menge der 3x3-Matrizen von der Gestalt aus der Aufgabenstellung sei. Zu prüfen ist also, ob für jede reelle Zahl [mm] \lambda [/mm] und jede Matrix [mm] A\in [/mm] V auch [mm] \lambda\cdot [/mm] A die Form aus der Aufgabenstellung hat.
> Wenn ich [mm]\pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }[/mm]
> rechne wieso kommt dann a'' und b'' heraus.
>
> Ich hätte gedacht es kommt a+a' heraus usw..
Nicht falsch. Wir wollen [mm] A+A'\in [/mm] V zeigen. D.h. wir müssen zeigen, dass A+A' die Gestalt aus der Aufgabenstellung hat. D.h. es muss reelle Zahlen a,b geben, so dass
[mm] A+A'=\pmat{ a & 0 & a\\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }.
[/mm]
Halt, jetzt habe ich einen Fehler gemacht: a und b sind ja schon "verbraten", die haben ja schon ihre festgelegte Bedeutung im Zusammenhang mit A. Ich sollte also besser schreiben noch nicht verbratene Bezeichnungen a'' und b'' verwenden:
Zu zeigen ist, dass es reelle Zahlen a'',b'' gibt mit
(*) [mm] A+A'=\pmat{ a'' & 0 & a''\\ 0 & a''+b'' & 0\\ b'' & 0 & a'' }.
[/mm]
Wie zeigt man typischerweise, dass es irgendwelche Zahlen mit einer gewissen Eigenschaft gibt? Man gibt Zahlen mit dieser Eigenschaft an.
In unserem Beispiel könnte man also schreiben:
[mm] A+A'=\pmat{ a+a' & 0 & a+a'\\ 0 & (a+a')+(b+b') & 0\\ b+b' & 0 & a+a' }=\pmat{ a'' & 0 & a''\\ 0 & a''+b'' & 0\\ b'' & 0 & a'' }
[/mm]
ist mit a''=a+a' und b''=b+b' erfüllt. Also hat A+A' die Form aus der Aufgabenstellung und ist somit ein Element von V.
Probierst du einmal die analoge Überlegung zur skalaren Multiplikation?
Es fehlt noch die Überlegung, warum (V,+) eine abelsche Gruppe ist.
Wenn wir mit all dem fertig sind, kann ich dir noch einen Trick verraten, mit dem sich diese Aufgabe vermutlich schneller lösen lässt (Stichwort Untervektorräume). Damit spart man ein paar Dinge, muss aber ansonsten das gleiche prüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mi 14.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Skalare Mulitplikation müsste doch dieses hier sein oder
[mm] \lambda\cdot{}[ \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }]=\lambda\cdot{}\pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\lambda\cdot{}\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' } [/mm]
Was ist damit gemeint ? Warzum (V,+) eine abelsche Gruppe ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 14.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Skalare Mulitplikation müsste doch dieses hier sein oder
>
> [mm]\lambda\cdot{}[ \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }]=\lambda\cdot{}\pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }+\lambda\cdot{}\pmat{ a' & 0 & a'\\ 0 & a'+b' & 0\\ b' & 0 & a' }[/mm]
Zu einem K-Vektorraum V gehört neben einer Addition + eine Zuordnung [mm] $\cdot$, [/mm] die jedem [mm] $\lambda\in [/mm] K$ und [mm] $v\in [/mm] V$ ein Produkt [mm] $\lambda\cdot v\in [/mm] V$ zuordnet. Diese Zuordnung nennt man skalare Multiplikation.
> Was ist damit gemeint ? Warzum (V,+) eine abelsche Gruppe
> ist?
In meiner letzten Antwort sollten das zwei verschiedene Anmerkungen sein: Zum einen fehlt in der Tat noch der Nachweis, dass $(V,+)$ eine abelsche Gruppe ist. Zum anderen:
Damit $(V,+)$ eine abelsche Gruppe ist, muss die Summe $A+A'$ zweier Elemente [mm] $A,A'\in [/mm] V$ wieder in V liegen. Dass dem tatsächlich so ist, habe ich dir vorgeführt. Ebenso ist zu zeigen, dass für [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und [mm] $A\in [/mm] V$ auch das Produkt [mm] $\lambda\cdot [/mm] A$ in $V$ liegt. Das solltest du mal selbst probieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Do 15.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay dann versuche ich das mal
[mm] \lambda\cdot{}[ \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a }=\pmat{ \lambda*a & 0 & \lambda*a \\ 0 & \lambda(a+b) & 0\\ \lambda*b & 0 & \lambda*a }
[/mm]
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Hallo racy90,
> okay dann versuche ich das mal
>
> [mm]\lambda\cdot{}[ \pmat{ a & 0 & a \\
0 & a+b & 0\\
b & 0 & a }=\pmat{ \lambda*a & 0 & \lambda*a \\
0 & \lambda(a+b) & 0\\
\lambda*b & 0 & \lambda*a }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist richtig!
Was sagt dir das in Bezug auf die Aufgabe?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Do 15.03.2012 | | Autor: | racy90 |
das es sich hierbei um einen Vektorraum handelt??
Wie bekomme ich nun eine Basis für den Vektorraum? Linear Unabhängige Spaltenvektoren in die Matrix einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 Do 15.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> das es sich hierbei um einen Vektorraum handelt??
Ja, wenn Du das noch hinzunimmst, ẃas tobit Dir gezeigt hat
>
> Wie bekomme ich nun eine Basis für den Vektorraum? Linear
> Unabhängige Spaltenvektoren in die Matrix einsetzen?
Nein , Gummibärchen im Garten pflanzen.
Bezeichnen wir den Vektorraum aller Matrizen der Form $ [mm] \pmat{ a & 0 & a \\ 0 & a+b & 0\\ b & 0 & a } [/mm] $ mit V.
Finde ein m [mm] \in \IN [/mm] und Matrizen [mm] A_1,...,A_m \in [/mm] V mit:
1. [mm] A_1,...,A_m [/mm] sind linear unabhängig,
2. jedes A [mm] \in [/mm] V lässt sich als Linearkombination der [mm] A_1,...,A_m [/mm] darstellen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Do 15.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Ich hoffe ich hab das richtig verstanden ...
also meine Matrix würde dann so aussehen [mm] \pmat{ 0 & 1&1 \\ 1 & 0&1\\ 1&1&0 } [/mm] diese ist linear unabhänig und lässt sich aus Linearkombinationen der Matrizen [mm] A_1 -A_n [/mm] bilden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Do 15.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich hoffe ich hab das richtig verstanden ...
Hast Du nicht.
>
> also meine Matrix würde dann so aussehen [mm]\pmat{ 0 & 1&1 \\ 1 & 0&1\\ 1&1&0 }[/mm]
Was hat denn diese matrix mit den Matrizen obiger Gestalt zu tun ? Nix !
> diese ist linear unabhänig und lässt sich aus
> Linearkombinationen der Matrizen [mm]A_1 -A_n[/mm] bilden
Unfug !
Du machst jetzt folgendes:
Lies nochmal die Begriffe "Basis eines Vektorraumes" und "Dimension eines Vektorraumes" nach.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 15.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die elemente deines VR sind Matrizen! Ein Vektor als lin unabh. zu bezeichnen ist Unsinn.
Du brauchst mehr als einen Vektor, d.h. matrix, denn dein VR ist sicher nicht 1 dimensional!
das Element eines VR=Matrix das du hingeschrieben hast liegt NICHT mal in dem VR den du hier hast!
irgendwie scheint dir überhaupt nicht klar zu sein, dass die Elemente deines VR keine "Vektoren" im Sinne von Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] sind.
Also nochmal: wieviel verschieden Matrices [mm] B_i [/mm] brauchst du um jede matrix in deinem VR als linearkombination aus den [mm] B_i [/mm] darzustellen.
natürlich müsen die Basen in dem vorgegebenen VR liegen, nur die a,b können spezielle Werte sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 15.03.2012 | | Autor: | racy90 |
Naja ich benötige 2 Matrizen .
Soll ich Zahlen für a und b suchen und somit eine Basis finden ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Do 15.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgenwie schon, da die Basen ja aus dem VR sein müssen.
Aber warum tust du es denn nicht, ob du alle matrizen des VR damit erzeugen kannst ist doch leicht zu überprüfen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Do 15.03.2012 | | Autor: | racy90 |
habe jetzt für a=1 b=0
folgende Matrix rausbekommen [mm] \pmat{ 1 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\0&0&1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Do 15.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> habe jetzt für a=1 b=0
> folgende Matrix rausbekommen [mm]\pmat{ 1 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\0&0&1}[/mm]
Das sieht schon mal gut aus! Diese Matrix lässt sich zu einer Basis unseres Vektorraumes ergänzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Do 15.03.2012 | | Autor: | racy90 |
und was fehlt dann noch damit es endgültig eine Basis wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Do 15.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> und was fehlt dann noch damit es endgültig eine Basis
> wird?
Eine weitere (geeignete) Matrix aus unserem Vektorraum.
Am besten eine ähnlich "einfache" wie die erste. Dann lässt sich am leichtesten nachprüfen, ob tatsächlich eine Basis vorliegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Do 15.03.2012 | | Autor: | racy90 |
okay dann wähle ich a=1 b=2
[mm] \pmat{ 1 & 0 &1\\ 0 & 3 &0\\2&0&1} [/mm] sollte denke ich auch gehen,wollte zuerst a=0 b=1 setzten da wird aber die Det. =0 und das geht ja nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Do 15.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> okay dann wähle ich a=1 b=2
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 &1\\ 0 & 3 &0\\2&0&1}[/mm] sollte denke ich auch
> gehen,
Ja.
> wollte zuerst a=0 b=1 setzten da wird aber die Det.
> =0 und das geht ja nicht
Mit a=0, b=1 könntest du dir in der Tat das Leben leichter machen.
Dass die Determinante dieser Matrix 0 ist, stört für unser Problem überhaupt nicht. Vermutlich dachtest du dabei an eine Basis im [mm] $\IR^4$. [/mm] Wenn du sämtliche Vektoren einer Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] in eine Matrix schreibst, hat diese Matrix in der Tat eine Determinante ungleich 0. In unserer Situation ist der Vektorraum jedoch gar nicht der [mm] $\IR^4$, [/mm] sondern einer, dessen EINZELNE Vektoren Matrizen sind.
Der nächste Schritt ist nun, von einer Basis deiner Wahl zu überlegen, dass diese wirklich eine Basis ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 15.03.2012 | | Autor: | racy90 |
also schaue ich ob diese Basis [mm] \pmat{ 1 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\0&0&1} [/mm] wirklich eine Basis ist und überprüfe ob die Spaltenvektoren lin.unabhängig sind bzw die Det [mm] \not=0 [/mm] ergibt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Do 15.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> also schaue ich ob diese Basis [mm]\pmat{ 1 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\0&0&1}[/mm]
> wirklich eine Basis ist
Nein, dies ist keine Basis. Das Paar
[mm] B=(\pmat{ 1 & 0 &1\\ 0 & 1 &0\\0&0&1},\pmat{ 0 & 0 &0\\ 0 & 1 &0\\1&0&0})
[/mm]
dagegen schon.
> und überprüfe ob die
> Spaltenvektoren lin.unabhängig sind bzw die Det [mm]\not=0[/mm]
> ergibt oder?
Du bist anscheinend immer noch gedanklich im [mm] $\IR^4$ [/mm] statt in unserem Matrizen-Vektorraum. Die Spaltenvektoren unserer Matrizen sind überhaupt keine Vektoren unseres Vektorraumes. Determinantenbetrachtungen helfen hier nicht weiter.
Um B als Basis zu identifizieren, musst du dir überlegen:
1. B ist linear unabhängig
2. B ist ein Erzeugendensystem unseres Vektorraumes
Dafür benötigst du zunächst mal die Definitionen von "linear unabhängig" und Erzeugendensystem.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Do 15.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
> das es sich hierbei um einen Vektorraum handelt??
nein, sondern [mm] \lambda [/mm] *A hat wieder die geforderte Form [mm] mit\lambdaa=a' [/mm] und [mm] \lambdab=b'
[/mm]
und es ist ein Teil des Beweises dass es ein VR ist.
> Wie bekomme ich nun eine Basis für den Vektorraum? Linear
> Unabhängige Spaltenvektoren in die Matrix einsetzen?
überleg welche dimension der VR hat, soviele Basen suchst du, also 2 oder mehr matizes so dass du jede Matrix der gegebenen Form aus [mm] \alpha*B_1+ \beta*B_2+\gamma*B_3+... [/mm] darstellen kannst. so viele B wie du mindestens brauchst. Also probier mal mit geeigneten 0 und 1 an verschiedenen Stellen
Gruss leduart
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