Matrizen berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie jeweils alle Matrizen X, welche die folgenden Gleichungen erfüllen:
(a) X [mm] \begin{pmatrix} 1& 3 & 0 \\ 3 & 8 & 0 \\ 7& -8 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]
(b) X [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2\\3&6 \end{pmatrix}=(2,3) [/mm] |
Hallo Leute,
ich weiß nicht genau wie ich hier vorgehen muss.
Es gilt ja (wenn A eine Matrix ist) A*A^-1=Einheitsmatrix, aber hier hätte ich ja jetzt das X dazwischen und die Matrizenmultiplikation ist ja nicht kommutativ.
Würde denn trotzdem Folgendes gehen:
[mm] A^{-1}XA=bA^{-1}
[/mm]
[mm] X=bA^{-1}
[/mm]
oder wäre das falsch?
Gibt es vielleicht ein ganz anderen Lösungsweg und hier sind ja auch "alle Matrizen" in der Aufgabenstellung genannt, kann es viele verschiedene geben und wenn ja wie bestimme ich diese alle?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Berechnen Sie jeweils alle Matrizen X, welche die folgenden
> Gleichungen erfüllen:
>
> (a) X [mm]\begin{pmatrix} 1& 3 & 0 \\ 3 & 8 & 0 \\ 7& -8 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> (b) X [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2\\3&6 \end{pmatrix}=(2,3)[/mm]
> Hallo
> Leute,
>
> ich weiß nicht genau wie ich hier vorgehen muss.
>
> Es gilt ja (wenn A eine Matrix ist) A*A^-1=Einheitsmatrix,
> aber hier hätte ich ja jetzt das X dazwischen und die
> Matrizenmultiplikation ist ja nicht kommutativ.
>
> Würde denn trotzdem Folgendes gehen:
> [mm]A^{-1}XA=bA^{-1}[/mm]
> [mm]X=bA^{-1}[/mm]
>
> oder wäre das falsch?
>
>
> Gibt es vielleicht ein ganz anderen Lösungsweg und hier
> sind ja auch "alle Matrizen" in der Aufgabenstellung
> genannt, kann es viele verschiedene geben und wenn ja wie
> bestimme ich diese alle?
Zunächst einmal benötigst du hier zwei unterschiedliche Vorgehensweisen.
Gehen wir zur Aufgabe a): hier dürfte ja klar sein, dass X eine 3x3-Matrix sein muss. Man sieht leicht, dass die Matrix, mit der X multipliziert ist, invertierbar ist. Was könnte man denn mit der Inversen dieser Matrix so anstellen? 
Bei der b) muss X was sein? Wenn du die Antwort darauf findest wirst du sehen, dass man hier mit einem einfachen 2x2-LGS weiterkommt.
Gruß, Diophant
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> Zunächst einmal benötigst du hier zwei unterschiedliche
> Vorgehensweisen.
>
> Gehen wir zur Aufgabe a): hier dürfte ja klar sein, dass X
> eine 3x3-Matrix sein muss. Man sieht leicht, dass die
> Matrix, mit der X multipliziert ist, invertierbar ist. Was
> könnte man denn mit der Inversen dieser Matrix so
> anstellen?
>
> Bei der b) muss X was sein? Wenn du die Antwort darauf
> findest wirst du sehen, dass man hier mit einem einfachen
> 2x2-LGS weiterkommt.
>
> Gruß, Diophant
Hallo,
danke für die Antwort.
zu a) ich hatte ja schon in meinem Eingangspost gefragt, ob es möglich sein würde, dass [mm] A^{-1}XA=X [/mm] ergeben würde? Wenn das nicht möglich wäre, könnte ich ja nicht auf die Lösung über eine einfache Multiplikation von [mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] mit der Inversen von A kommen.
Kann man das also so machen und dann direkt meine nächste Frage, ist es sinnvoller Inversen über Gauß-Jorden zu bestimmen oder sollte man die Cramersche Regel benutzen?
zu b)
Die beiden Zeilen sind ja anscheinend linear abhängig voneinander und man müsste, also könnte man eine Zeile streichen und müsste X (1 2) =(2,3) haben? Das wäre ja gar nicht möglich oder?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
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> > Zunächst einmal benötigst du hier zwei unterschiedliche
> > Vorgehensweisen.
> >
> > Gehen wir zur Aufgabe a): hier dürfte ja klar sein, dass X
> > eine 3x3-Matrix sein muss. Man sieht leicht, dass die
> > Matrix, mit der X multipliziert ist, invertierbar ist. Was
> > könnte man denn mit der Inversen dieser Matrix so
> > anstellen?
> >
> > Bei der b) muss X was sein? Wenn du die Antwort darauf
> > findest wirst du sehen, dass man hier mit einem einfachen
> > 2x2-LGS weiterkommt.
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Hallo,
> danke für die Antwort.
>
> zu a) ich hatte ja schon in meinem Eingangspost gefragt, ob
> es möglich sein würde, dass [mm]A^{-1}XA=X[/mm] ergeben würde?
Hallo,
i.a. wird das nicht der Fall sein, denn die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
Aber wenn Du es geringfügig geschickter einfädelst, kommst Du zum Ziel:
Du hast
XA= B.
Multiplikation von der schlauen Seite mit [mm] A^{-1}:
[/mm]
[mm] (XA)A^{-1}=BA^{-1},
[/mm]
und dann weiter
> Wenn das nicht möglich wäre, könnte ich ja nicht auf die
> Lösung über eine einfache Multiplikation von
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> mit der Inversen von A kommen.
Genau.
>
>
> Kann man das also so machen und dann direkt meine nächste
> Frage, ist es sinnvoller Inversen über Gauß-Jorden zu
> bestimmen oder sollte man die Cramersche Regel benutzen?
Mach das, was Du gut kannst und mit dem Du schnell zum richtigen Ergebnis kommst.
Gauß-Jordan muß man beherrschen, egal, ob man's hier verwendet oder nicht.
>
>
> zu b)
> Die beiden Zeilen sind ja anscheinend linear abhängig
> voneinander und man müsste, also könnte man eine Zeile
> streichen und müsste X (1 2) =(2,3) haben? Das wäre ja
> gar nicht möglich oder?
Ich sehe nicht so recht einen Grund dafür, einfach mal eine Zeile zu streichen.
Bist Du dem Rat gefolgt und hast Dir mal überlegt, welches Format X haben muß?
Es muß eine [mm] 1\times [/mm] 2 Matrix sein.
Zu lösen ist also
[mm] \vektor{a&b}* [/mm] $ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2\\3&6 \end{pmatrix}=(2,3) [/mm] $
LG Angela
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
> Gruß
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> > > Zunächst einmal benötigst du hier zwei unterschiedliche
> > > Vorgehensweisen.
> > >
> > > Gehen wir zur Aufgabe a): hier dürfte ja klar sein, dass X
> > > eine 3x3-Matrix sein muss. Man sieht leicht, dass die
> > > Matrix, mit der X multipliziert ist, invertierbar ist. Was
> > > könnte man denn mit der Inversen dieser Matrix so
> > > anstellen?
> > >
> > > Bei der b) muss X was sein? Wenn du die Antwort darauf
> > > findest wirst du sehen, dass man hier mit einem einfachen
> > > 2x2-LGS weiterkommt.
> > >
> > > Gruß, Diophant
> >
> > Hallo,
> > danke für die Antwort.
> >
> > zu a) ich hatte ja schon in meinem Eingangspost gefragt, ob
> > es möglich sein würde, dass [mm]A^{-1}XA=X[/mm] ergeben würde?
>
> Hallo,
>
> i.a. wird das nicht der Fall sein, denn die
> Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
>
> Aber wenn Du es geringfügig geschickter einfädelst,
> kommst Du zum Ziel:
>
> Du hast
> XA= B.
>
> Multiplikation von der schlauen Seite mit [mm]A^{-1}:[/mm]
> [mm](XA)A^{-1}=BA^{-1},[/mm]
> und dann weiter
>
> > Wenn das nicht möglich wäre, könnte ich ja nicht auf die
> > Lösung über eine einfache Multiplikation von
> > [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> > mit der Inversen von A kommen.
>
> Genau.
> >
> >
> > Kann man das also so machen und dann direkt meine nächste
> > Frage, ist es sinnvoller Inversen über Gauß-Jorden zu
> > bestimmen oder sollte man die Cramersche Regel benutzen?
>
> Mach das, was Du gut kannst und mit dem Du schnell zum
> richtigen Ergebnis kommst.
> Gauß-Jordan muß man beherrschen, egal, ob man's hier
> verwendet oder nicht.
>
>
> >
> >
> > zu b)
> > Die beiden Zeilen sind ja anscheinend linear abhängig
> > voneinander und man müsste, also könnte man eine Zeile
> > streichen und müsste X (1 2) =(2,3) haben? Das wäre ja
> > gar nicht möglich oder?
>
> Ich sehe nicht so recht einen Grund dafür, einfach mal
> eine Zeile zu streichen.
>
> Bist Du dem Rat gefolgt und hast Dir mal überlegt, welches
> Format X haben muß?
> Es muß eine [mm]1\times[/mm] 2 Matrix sein.
>
> Zu lösen ist also
>
> [mm]\vektor{a&b}*[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2\\3&6 \end{pmatrix}=(2,3)[/mm]
>
> LG Angela
>
>
> >
> >
> > Vielen Dank im Voraus!
> >
> >
> > Gruß
>
Hallo,
danke für die Antwort.
Ich habe es mal ausprobiert und komme auf:
$ [mm] \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ *$ [mm] \begin{pmatrix} -8 & 3 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 80 & -29 & 1 \end{pmatrix} $=\begin{pmatrix} -16 & 6 & 0 \\ 83 & -30 & 1 \\ 75 & -27 & 1 \end{pmatrix} [/mm]
Ist das jetzt die einzige Lösung ? (Es steht ja alle Lösungen in der Aufgabe)
Bei b) weiß ich leider nicht wie das geht. Ich habe einen einzeiligen und zweispaltigen Vektor und der muss multipliziert mit der vorgegeben Matrix (2,3) ergeben, aber woher weiß ich jetzt welcher es genau sein muss? Ich kann ja nicht (2,3) mit der Invertierten der Matrix multiplizieren, weil sie ja wegen der linearen Abhängigkeit der Zeilen gar nicht invertierbar ist.
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Do 22.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > Zunächst einmal benötigst du hier zwei unterschiedliche
> > > > Vorgehensweisen.
> > > >
> > > > Gehen wir zur Aufgabe a): hier dürfte ja klar sein, dass X
> > > > eine 3x3-Matrix sein muss. Man sieht leicht, dass die
> > > > Matrix, mit der X multipliziert ist, invertierbar ist. Was
> > > > könnte man denn mit der Inversen dieser Matrix so
> > > > anstellen?
> > > >
> > > > Bei der b) muss X was sein? Wenn du die Antwort darauf
> > > > findest wirst du sehen, dass man hier mit einem einfachen
> > > > 2x2-LGS weiterkommt.
> > > >
> > > > Gruß, Diophant
> > >
> > > Hallo,
> > > danke für die Antwort.
> > >
> > > zu a) ich hatte ja schon in meinem Eingangspost gefragt, ob
> > > es möglich sein würde, dass [mm]A^{-1}XA=X[/mm] ergeben würde?
> >
> > Hallo,
> >
> > i.a. wird das nicht der Fall sein, denn die
> > Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.
> >
> > Aber wenn Du es geringfügig geschickter einfädelst,
> > kommst Du zum Ziel:
> >
> > Du hast
> > XA= B.
> >
> > Multiplikation von der schlauen Seite mit [mm]A^{-1}:[/mm]
> > [mm](XA)A^{-1}=BA^{-1},[/mm]
> > und dann weiter
> >
> > > Wenn das nicht möglich wäre, könnte ich ja nicht auf die
> > > Lösung über eine einfache Multiplikation von
> > > [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> > > mit der Inversen von A kommen.
> >
> > Genau.
> > >
> > >
> > > Kann man das also so machen und dann direkt meine nächste
> > > Frage, ist es sinnvoller Inversen über Gauß-Jorden zu
> > > bestimmen oder sollte man die Cramersche Regel benutzen?
> >
> > Mach das, was Du gut kannst und mit dem Du schnell zum
> > richtigen Ergebnis kommst.
> > Gauß-Jordan muß man beherrschen, egal, ob man's hier
> > verwendet oder nicht.
> >
> >
> > >
> > >
> > > zu b)
> > > Die beiden Zeilen sind ja anscheinend linear
> abhängig
> > > voneinander und man müsste, also könnte man eine Zeile
> > > streichen und müsste X (1 2) =(2,3) haben? Das wäre ja
> > > gar nicht möglich oder?
> >
> > Ich sehe nicht so recht einen Grund dafür, einfach mal
> > eine Zeile zu streichen.
> >
> > Bist Du dem Rat gefolgt und hast Dir mal überlegt, welches
> > Format X haben muß?
> > Es muß eine [mm]1\times[/mm] 2 Matrix sein.
> >
> > Zu lösen ist also
> >
> > [mm]\vektor{a&b}*[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 & 2\\3&6 \end{pmatrix}=(2,3)[/mm]
>
> >
> > LG Angela
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> > >
> > > Vielen Dank im Voraus!
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> > >
> > > Gruß
> >
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> Hallo,
> danke für die Antwort.
>
> Ich habe es mal ausprobiert und komme auf:
> [mm]\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
> *[mm] \begin{pmatrix} -8 & 3 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 80 & -29 & 1 \end{pmatrix}[/mm][mm] =\begin{pmatrix} -16 & 6 & 0 \\ 83 & -30 & 1 \\ 75 & -27 & 1 \end{pmatrix}[/mm]
Stimmt
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> Ist das jetzt die einzige Lösung ? (Es steht ja alle
> Lösungen in der Aufgabe)
Ja, die Matrix $ [mm] \begin{pmatrix} 1& 3 & 0 \\ 3 & 8 & 0 \\ 7& -8 & 1 \end{pmatrix} [/mm] $ ist doch invertierbar !
>
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> Bei b) weiß ich leider nicht wie das geht. Ich habe einen
> einzeiligen und zweispaltigen Vektor und der muss
> multipliziert mit der vorgegeben Matrix (2,3) ergeben, aber
> woher weiß ich jetzt welcher es genau sein muss? Ich kann
> ja nicht (2,3) mit der Invertierten der Matrix
> multiplizieren, weil sie ja wegen der linearen
> Abhängigkeit der Zeilen gar nicht invertierbar ist.
Angela hats doch gesagt:
$ [mm] \vektor{a &b}\cdot{} [/mm] $ $ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2\\3&6 \end{pmatrix}=(2,3) [/mm] $
Das führt auf das LGS
a+3b=2
2a+6b=3
Ist dieses LGS lösbar ?
FRED
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
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> a+3b=2
> 2a+6b=3
>
> Ist dieses LGS lösbar ?
>
> FRED
Hallo,
danke für die Antwort!
Würde die Lösung dann so aussehen:
[mm] \vektor{a\\b}=\vektor{2-3t \\ t} [/mm] | [mm] t\in \mathbb{R} [/mm] bzw$ (2-3t, t)$ mit [mm] t\in \mathb{R}?
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 22.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> > a+3b=2
> > 2a+6b=3
> >
> > Ist dieses LGS lösbar ?
> >
> > FRED
>
> Hallo,
>
> danke für die Antwort!
>
> Würde die Lösung dann so aussehen:
> [mm]\vektor{a\\b}=\vektor{2-3t \\ t}[/mm] | [mm]t\in \mathbb{R}[/mm] bzw[mm] (2-3t, t)[/mm]
> mit [mm]t\in \mathb{R}?[/mm]
Nein.
Nochmal: ist obiges LGS lösbar ?
FREd
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
danke für die Antwort und natürlich ist es nicht lösbar wegen 0a+0b=-1.
Ich hatte die ganze Zeit an (2,4) statt (2,3) gedacht, entschuldige. Also gibt es entsprechend auch keine Matrix, die eine Lösung sein könnte?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Hallo,
> danke für die Antwort und natürlich ist es nicht lösbar
> wegen 0a+0b=-1.
Jo
>
> Ich hatte die ganze Zeit an (2,4) statt (2,3) gedacht,
> entschuldige. Also gibt es entsprechend auch keine Matrix,
> die eine Lösung sein könnte?
Jo, es gibt für b) keine Lösung ...
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
Gruß
schachuzipus
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