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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Mi 20.12.2006 | | Autor: | LunaX |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
Bestimmen Sie alle Matrizen B mit der Eigenschaft A*B*A=A
Welche unter diesen Lösungsmatrizen erfüllen die Zusatzbedingungen, dass beide Matrizenprodukte A*B und B*A symmetrische Matrizen darstellen? |
Hallo,
mir wurde diese Aufgabe gestellt. Ich komme hier überhaupt nicht weiter. Erstmal habe ich versucht das Matrizenprodukt von B zu bilden dafür habe ich [mm] B=\pmat{ a & b \\ c & d \\ e & f } [/mm] gebildet. Jedoch weiss ich nun nicht wie ich weiter machen soll. Kann mir jemand beim Lösen dieser Aufgabe helfen?? Ich verzweifel total.
Vielen Dank schon mal,
LunaX
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:17 Mi 20.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dein Ansatz sieht doch schonmal sehr gut aus - ich hoffe du hast dir auch überlegt, warum B eine 3x2 Matrix sein muss
jedenfalls kannst du doch nun das Produkt A*B*A ausrechnen, einfach zuerst A*B und dann das ganze nochmal mit A multiplizieren
A*B wäre z.B : [mm] $\pmat{a+e&b+f\\a+c&b+d}$
[/mm]
wenn du diese Matrix nochmal (von rechts) mit A multiplizierst, erhälst du wieder eine 2x3 Matrix mit Variablen als Einträgen..
Diese Matrix setzt du dann gleich A (wie die Gleichung es ja will)
Dann hast du Komponentenweise eine Gleichung mit einigen unbekannten, also hast du maximal 6 unbekannte und 6 Gleichungen - das kann man ganz gut lösen, oder?
(zwei Matrizen sind ja gleich, wenn sie in jedem Eintrag gleich sind)
den zweiten Tail bekommt dan bestimmt auch ganz gut hin, wenn man allgemein mal B*A berechnet und dann mit der Lösung schaut, wann sie symmetrisch sind..
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Mi 20.12.2006 | | Autor: | LunaX |
Hi,
vielen Dank für deine schnelle und echt hilfreiche Antwort, nur eins verstehe ich noch nicht :( und zwar wenn ich nun B*A multipliziere, habe ich doch das Problem, dass B eine 2*2 Matrix ist. Wie kann ich das dann mit A multiplizieren?
LG
LunaX
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Hallo,
du mußt das schon bekannte Ergebnis von A*B mit A multiplizieren und nicht (nur) B*A!!
du erhälst eine Matrix mit 2 Zeilen und drei Spalten!!
[mm] \pmat{ a+e & b+f \\ a+c & b+d }*\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0}=\pmat{ (a+e+b+f) & (b+f) & (a+e) \\ (a+c+b+d) & (b+d) & (a+c)}
[/mm]
ich habe zur besseren Unterscheidung mal Klammern gesetzt.
jetzt kannst du deine sechs Gleichungen aufstellen:
1.) a+e+b+f=1
2.) b+f=0
3.) a+e=1
4.) a+c+b+d=1
5.) b+d=1
6.) a+c=0
jetzt Gleichungssystem mit sechs Gleichungen und sechs Unbekannten lösen
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mi 20.12.2006 | | Autor: | LunaX |
Hi Steffi,
wenn ich jetzt die Gleichungen löse kommt da jedoch immer raus:
z.B.:
a+e=1 /-e
a=1-e
und
b+f=0 /-f
b= -f
in 1.:
1-e+e+f-f=1
1=1
Genauso ist das wenn ich versuche die anderen Unbekannten zu lösen.
Mache ich da schon wieder was falsch?
LG LunaX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mi 20.12.2006 | | Autor: | LunaX |
Hallo,
kann mir hier jemand weiter helfen?
LG Lunax
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Mi 20.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du fragst schon nach einer Stunde nach, weil es dir nicht schnell genug geht?
Du brauchtest bisher länger zum Fragen als wir zum Antworten - vielleicht haben einige Leute hier abends einfach etwas anderes zu tun ?!?
(ich verweise mal auf die Forumsregeln, bitte mal lesen !!)
als letzten Tip, bevor ich für heute verschwinde:
versuch das Gleichungssystem doch mal sauber mit Gauß zu lösen !
(und ja, es wird mindestens eine Variable frei wählbar sein...)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo,
sorry, habe es gerechnet und einen elendigen Vorzeichenfehler gehabt, denke habe ihn gefunden, beziehe mich auf meine Gleichungsnummern von vorhin:
setzte Variable a als Parameter, also frei wählbar, [mm] a=p_1
[/mm]
aus 6) folgt [mm] c=-p_1
[/mm]
aus 3) folgt [mm] e=-p_1+1
[/mm]
setze Variable b als Parameter, [mm] b=p_2
[/mm]
aus 2) folgt [mm] f=-p_2
[/mm]
aus 5) folgt [mm] d=-p_2+1
[/mm]
aus 1) folgt [mm] f=-p_2
[/mm]
somit hast du Matrix [mm] B:\pmat{ p_1 & p_2 \\ -p_1 & -p_2+1 \\ -p_1+1 & -p_2 }
[/mm]
Rechne [mm] A*B=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }, [/mm] wunderschön symmetrisch, Matrix geht durch Spiegelung an der Hauptdiagonale in sich selbst über
[mm] B*A=\pmat{ p_1+p_2 & p_2 & p_1 \\ -p_1-p_2+1 & -p_2+1 & -p_1 \\ -p_1+1-p_2 & -p_2 & -p_1+1 }
[/mm]
Um die Symmetrie zu erfüllen muß gelten:
[mm] -p_1-p_2+1=p_2 [/mm] und
[mm] -p_2=-p_1 [/mm] einsetzen, du erhälst [mm] p_1=p_2=\bruch{1}{3}
[/mm]
somit kannst du bilden: [mm] B=\pmat{\bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\ -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} \\ \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} }
[/mm]
B*A= [mm] \pmat{ \bruch{2}{3} & \bruch{1}{3} & \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} & -\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} & -\bruch{1}{3} & \bruch{2}{3} }, [/mm] vom Feinsten symmetrisch!
Hoffe, jetzt alle Vorzeichen korrekt
Steffi
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