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| Aufgabe | Es geht darum zu beweisen, dass das charakteritischen polynom nicht von der Wahl der Basen abhängt ist, bzw, dass
charakt. Polynom von A'=charakt. Polynom von A
Im "lorenz" gibt es dazu folgen beweis:
A'=S¯1AS
E einheitsmatrix
A' ist Koordmatrix bzgl f
charakt. Polynom von A'
=det(XE-A')
=det(XE-S¯1AS)
=det(S¯1(XE-A)S)
=det(S¯1)det(XE-A)det(S)
=det(XE-A)= charak. Polynom von A |
Hallo ihr da draußen,
leider verstehe ich die schritte ab der dritten zeile nicht, kann jemand mir vielleicht kurz kommentare geben, was dort genau gemacht wurde?
butterfly
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mi 11.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
es ist also zu zeigen, dass ähnliche Matrizen das gleiche charakteristische Polynom haben.
Ich habe aus X ein x gemacht, da es sonst etwas verwirrt; x ist ja keine Matrix!!!
> Im "lorenz" gibt es dazu folgen beweis:
> A'=S¯1AS
> E einheitsmatrix
> A' ist Koordmatrix bzgl f
>
> charakt. Polynom von A'
> =det(xE-A')
> [mm] =det(xE-S^{-1}AS)
[/mm]
[mm] =det(S^{-1}xES-S^{-1}AS),
[/mm]
da [mm] S^{-1}xES=xS^{-1}ES=xS^{-1}S=xE
[/mm]
> [mm] =det(S^{-1}(xE-A)S)
[/mm]
Rechenregeln für Determinanten!
> [mm] =det(S^{-1})det(xE-A)det(S)
[/mm]
Mehrmals Rechenregeln für Determinanten:
[mm] =det(S^{-1})det(S)det(xE-A)
[/mm]
[mm] =det(S^{-1}S)det(xE-A)
[/mm]
=det(E)det(xE-A)
[mm] =1\cdot{}det(xE-A)
[/mm]
> =det(xE-A)= charak. Polynom von A
Gruß barsch
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Hi Barsch,
vielen Dank für deine Antwort
>
> da [mm]S^{-1}xES=xS^{-1}ES=xS^{-1}S=xE[/mm]
hier komme ich nicht ganz mit. Hier kann man ja keine Determinantenregeln anwenden, da hier nur Matrizen stehen. Aber ich habe hierzu keine passenden Regeln gefunden, wieso kann man x einfach nach vorne ziehen?
und bei [mm] xS^{-1}S [/mm] fehlt da nicht ein E? [mm] Also:xS^{-1}SE
[/mm]
Matrizen darf man ja eigentlich nicht vertauschen, weil sie nicht kommutativ sind. Dies gilt aber nicht, wenn man zwei Matrizen hat von denen eine eine Einheitsmatrix ist, oder?
Gruß
butterfly
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 14.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
> >
> > da [mm]S^{-1}xES=xS^{-1}ES=xS^{-1}S=xE[/mm]
>
>
> hier komme ich nicht ganz mit. Hier kann man ja keine
> Determinantenregeln anwenden, da hier nur Matrizen stehen.
> Aber ich habe hierzu keine passenden Regeln gefunden, wieso
> kann man x einfach nach vorne ziehen?
beachte: [mm] x\in\IR, [/mm] also ein Skalar, keine Matrix. Es gilt: Für [mm] A\in\IR^{m\times{n}}, B\in\IR^{n\times{r}} [/mm] und [mm] \lambda\in\IR [/mm] ist
[mm] A*(\lambda{B})=(\lambda{A})*B=\lambda{AB} \\\ \math{\red{(*)}}
[/mm]
> und bei [mm]xS^{-1}S[/mm] fehlt da nicht ein E? [mm]Also:xS^{-1}SE[/mm]
E ist die Einheitsmatrix und hat gerade die Eigenschaft, dass [mm] A\cdot{E}=A \\\ \\\ \forall{A\in\IR^{m\times{n}}}
[/mm]
> Matrizen darf man ja eigentlich nicht vertauschen, weil
> sie nicht kommutativ sind. Dies gilt aber nicht, wenn man
> zwei Matrizen hat von denen eine eine Einheitsmatrix ist,
> oder?
Es ist [mm] A\cdot{E}=E*A, [/mm] mit E Einheitsmatrix, aber wir vertauschen ja nicht einfach:
[mm] S^{-1}xES\stackrel{\mathrm{\red{(*)}}}= x\underbrace{S^{-1}E}_{S^{-1}E=S^{-1}}S=x\underbrace{S^{-1}S}_{=E}=xE
[/mm]
> Gruß
> butterfly
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:53 Sa 14.11.2009 | | Autor: | butterfly |
hallo barsch!
ahhhhhhhh, jetzt ist mir klar!!!! (-:
Vielen Dank noch mal für die außerführliche Erläuterungen!!!!
Hat mir sehr geholfen!!!
butterfly
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