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| Aufgabe | Sei A eine reelle n × n-Matrix. Addieren Sie, für vorgegebene
i [mm] \not= [/mm] j [mm] \in [/mm] {1, . . . , n} und [mm] \beta \in \IR, [/mm] zur i-ten Spalte das [mm] \beta-fache [/mm] der j-ten. Zeigen Sie, dass die
so abgeänderte Matrix, aufgefasst als Abbildung [mm] \IR^{n} \to \IR^{n}, [/mm] den gleichen Kern und das
gleiche Bild wie A hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also die Matrix hat n Zeilen und n Spalten.
Der Kern von A bildet die j-te Spalte ab auf [mm] \vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0}
[/mm]
Also wird auch das [mm] \beta-fache [/mm] der j-ten Spalte auf [mm] \beta*\vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0}=\vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0} [/mm] abgebildet.
Die i-te Spalte wird ebenfalls auf [mm] \vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0} [/mm] abgebildet.
Also wird die Summe aus der i-ten Spalte und dem Produkt von [mm] \beta [/mm] mit der j-ten Spalte abgebildet auf [mm] \vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0}+\beta*\vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0}=\vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0}+\vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0}=\vektor{0 \\ . \\ . \\ . \\ 0} [/mm] , womit keine neuen Elemente zum Kern der neuen Matrix hinzukommen, sodass der Kern der neuen Matrix gleich dem Kern der alten Matrix ist.
Stimmt das so?
Und wie ich zeigen soll, dass das Bild dasselbe ist, ist mir schleierhaft :-/
Gibt es da irgendeine hinreichende Bedingung die gezeigt werden muss? :S
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Hallo Wadim,
du scheinst schon die richtige Idee zu haben, allerdings muss das noch etwas formalisiert werden 
$V = [mm] \IR^{n}$
[/mm]
Du hast zu Beginn eine Matrix $A = [mm] \vektor{a_{1}\\ ... \\ a_{i} \\ ...\\ a_{j} \\ a_{n}}$ [/mm] gegeben mit den Zeilen [mm] a_{1},...,a_{n}.
[/mm]
Deine veränderte Matrix A' sieht nun so aus: $A' = [mm] \vektor{a_{1}\\ ... \\ a_{i}+\beta*a_{j} \\ ...\\ a_{j} \\ a_{n}}$.
[/mm]
Du sollst zeigen:
(i) Kern(A) = Kern(A')
(ii) Bild(A) = Bild(A').
Zu (i):
Wichtig: Du hast hier eine Gleichheit von Mengen zu zeigen! Entweder, du zeigst also die beiden Inklusionen [mm] \subset [/mm] und [mm] \supset [/mm] oder du kannst die beiden Mengen "durchziehend" mit Gleichheitszeichen verbinden.
Ich mach dir mal den Anfang:
$Kern(A') = [mm] $\{v\in V: A'v=0\} [/mm] = [mm] \{v\in V: \left(A+\vektor{a_{1}\\ ... \\ \beta*a_{j} \\ ...\\ a_{j} \\ a_{n}}\right)v=0\} [/mm] = ...$
Nun kannst du deine Ideen einbringen!
Zu (ii):
Wieder ist eine Gleichheit von Mengen zu zeigen. Am besten ist es wahrscheinlich, du nimmst dir erst mal ein [mm] $w\in [/mm] Bild(A)$. Das bedeutet, es existiert ein [mm] $v\in [/mm] V$, sodass Av = w ist.
Du musst nun zeigen, dass auch ein [mm] v'\in [/mm] V existiert, sodass $A'v' = w$ ist (Damit zeigst du, dass w dann auch im Bild von A' liegt.)
Ich habe jetzt nichts genaues durchgerechnet, aber du solltest nun überlegen, ob du dir v' irgendwie aus v "zurechtbiegen" kannst (Da [mm] v\in \IR^{n}, [/mm] hast du ja eigentlich alle Freiheiten, zum Beispiel Komponenten von v = [mm] (v_{1},...,v_{n})^{T} [/mm] vertauschen, mit irgendwas multiplizieren,...), sodass dann A'v' = w ist.
Achtung! Wenn du das hinbekommen hast, hast du erst [mm] Kern(A)\subset [/mm] Kern(A') gezeigt. Du musst das ganze dann noch andersherum machen.
Grüße,
Stefan
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Es gilt ja:
A' = [mm] \vektor{a_{1}\\ ... \\ a_{i}+\beta\cdot{}a_{j} \\ ...\\ a_{j} \\ a_{n}}=A+\vektor{0 \\ ... \\ \beta*a_{j} \\ ... \\ 0}
[/mm]
Sei A*v=0
Dann gilt: [mm] A'*v=(A+\vektor{0 \\ ... \\ \beta*a_{j} \\ ... \\ 0})*v=A*v+\vektor{0 \\ ... \\ \beta*a_{j} \\ ... \\ 0}
[/mm]
*v = [mm] 0+\vektor{0 \\ ... \\ \beta*a_{j} \\ ... \\ 0}
[/mm]
*v = [mm] \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ ... \\ v* a_{j} \\ ... \\ 0}= \beta [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ ... \\ 0 \\ ... \\ 0}=0
[/mm]
=> A'*v=0 und damit Ker A= Ker A'
und zu 2.
Kann man nicht einfach schreiben:
A*v=w und A'*v'=w
[mm] \Rightarrow [/mm] A*v=A'*v' [mm] \Rightarrow [/mm] v'=A*v/A'
und damit wäre v' bestimmt?
und damit würde gelten, dass sofern v im Bild von A liegt es auch automatisch im Bild von A' liegt und damit die Bilder gleich sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 27.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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