Matrizen im Körper finden < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | | Zu finden sind Matrizen für jeden Körper K mit A,B e K^3x3 mit AB [mm] \not= [/mm] BA |
Hallo,
reicht es hier eine Matrix A und B zu finden deren Produkt AB ungleich des Produktes BA ergibt wie z.b
A [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 \\ 14 & 16 & 18 } [/mm] * B [mm] \pmat{ 3 & 5 & 7 \\ 9 & 11 & 13 \\ 15 & 17 & 19 } [/mm] = [mm] \pmat{ 132 & 156 & 180 \\ 294 & 354 & 414 \\ 456 & 552 & 648 },
[/mm]
B [mm] \pmat{ 3 & 5 & 7 \\ 9 & 11 & 13 \\ 15 & 17 & 19 } [/mm] * A [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 8 & 10 & 12 } [/mm] = [mm] \pmat{ 144 & 174 & 204 \\ 288 & 354 & 420 \\ 432 & 534 & 636 }
[/mm]
Hiermit hätte ich doch AB [mm] \not= [/mm] BA oder habe ich die Aufgabe missverstanden ?
lg
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 09.11.2011 | | Autor: | hippias |
Insofern hast Du das Problem nicht geloest, als dass bei Deinen Beispiel im einem Koerper mit der Charakteristik $2$ eben doch $AB= BA$ ist: Denn alle Matrixeintraege der Produkte sind durch $2$ teilbar und mithin $=0$ fuer $char (K)= 2$.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:57 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Coup |
Und wie gehe ich am besten vor um 2 richtige Matrizen zu finden ?
Ich kann mir die richtige Vorgehensweise nur schwer vorstellen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mi 09.11.2011 | | Autor: | Coup |
Sollte es dann bei meiner neuen Matrix anders sein ?, hab nochmal ein bisschen gerechnet.
A [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0} [/mm] B [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0} [/mm] =AB [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
Umgekehrt ergibt BA dann [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:32 Do 10.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sollte es dann bei meiner neuen Matrix anders sein ?, hab
> nochmal ein bisschen gerechnet.
> A [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0}[/mm] B [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
> =AB [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Umgekehrt ergibt BA dann [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Falls die Charakteristik gleich 3 ist, ist beides gleich 0.
Verwende doch einfach zwei Matrizen, die jeweils nur genau einen Eintrag [mm] $\neq [/mm] 0$ haben (und der ist dann 1). Das funktioniert dann wirklich ueber jedem Koerper gleich.
LG Felix
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