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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizen mit Parameter
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Matrizen mit Parameter: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Fr 08.07.2016
Autor: Fjury

Aufgabe
Seien die Matrix [mm] \mathcal{A} \in [/mm] M (3 x 3, [mm] \IR), [/mm] mit einem beliebigen reelen Parameter a und b [mm] \in \IR^{3}: [/mm]

A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 5 & -5 & 19 } [/mm]
B = [mm] \pmat{ 4 \\ 3a+1 \\ 24 } [/mm]

i) Bestimmen sie die Lösungsmenge von Ax=b in Abhängigkeit von a.
ii) Berechnen sie den Rang der Matrix A in Abhängigkeit von a.
iii) Ist die Abbildung A surjektiv bzw. injektiv?

Sind die Ergebnisse korrekt?

i)

für [mm] x_{3}=1 [/mm]

[mm] (a^{2}+a)x_{2}+ [/mm] 2a = 3a + 1

[mm] x_{2}=\bruch{a+1}{a^{2}+a} [/mm]

[mm] x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{a+1}{a^{2}+a} [/mm] + 3= 4

[mm] x_{1}= [/mm] 1 + [mm] \bruch{a+1}{a^{2}+a} [/mm]

ii)
A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 5 & -5 & 19 } [/mm]

A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 0 & 0 & 4 } [/mm]

A = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]

Rang= 2 für a=0
Rang= 3 für [mm] a\not= [/mm] 0

iii)

Für a=0 keins von beiden
Für a [mm] \not= [/mm] 0 injektiv, da Anzahl Spalten= Rang A

Grüße Adrian

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Matrizen mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:37 Sa 09.07.2016
Autor: fred97


> Seien die Matrix [mm]\mathcal{A} \in[/mm] M (3 x 3, [mm]\IR),[/mm] mit einem
> beliebigen reelen Parameter a und b [mm]\in \IR^{3}:[/mm]
>  
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 5 & -5 & 19 }[/mm]
>  
> B = [mm]\pmat{ 4 \\ 3a+1 \\ 24 }[/mm]
>  
> i) Bestimmen sie die Lösungsmenge von Ax=b in
> Abhängigkeit von a.
>  ii) Berechnen sie den Rang der Matrix A in Abhängigkeit
> von a.
>  iii) Ist die Abbildung A surjektiv bzw. injektiv?
>  Sind die Ergebnisse korrekt?
>  
> i)
>  
> für [mm]x_{3}=1[/mm]
>  
> [mm](a^{2}+a)x_{2}+[/mm] 2a = 3a + 1
>  
> [mm]x_{2}=\bruch{a+1}{a^{2}+a}[/mm]

Hier solltest Du die Fälle a=0, a=-1 und (a [mm] \ne [/mm] 0 , a [mm] \ne [/mm] -1) unterscheiden !!!


>  
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]\bruch{a+1}{a^{2}+a}[/mm] + 3= 4
>  
> [mm]x_{1}=[/mm] 1 + [mm]\bruch{a+1}{a^{2}+a}[/mm]

s.o.


>  
> ii)
>  A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 5 & -5 & 19 }[/mm]
>  
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 0 & 0 & 4 }[/mm]
>  
> A = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 3 \\ 0 & a(a+1) & 2a \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> Rang= 2 für a=0
>  Rang= 3 für [mm]a\not=[/mm] 0

Na, na, was ist mit a=-1 ?


>  
> iii)
>  
> Für a=0 keins von beiden
>  Für a [mm]\not=[/mm] 0 injektiv, da Anzahl Spalten= Rang A

Wieder a=-1 ?

FRED

>  
> Grüße Adrian
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Matrizen mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:43 Sa 09.07.2016
Autor: Fjury

i)
da geb ich dir recht, hab ich vergessen hinzuschreiben ^^.
Danke dir, aber bei

ii) & iii)
a=-1 lässt nur in der zweiten spalte den wert 0 werden. Das verändert jedoch nichts am rang der matrix, da noch -2 als 3ter wert übrig bleibt.

Wenn a [mm] \not= [/mm] 0 beinhaltet das automatisch auch die reelle Zahl -1 als Wert für a. Da injektiv und surjektiv abhängig vom rang sind, gilt das gleiche wie bei ii).

Oder soll ich einfach, damit es überprüft ist auch noch hinschreiben? Wäre vermutlich nicht schlecht, dann gibts auch keinen Abzug ^^.



Bezug
                        
Bezug
Matrizen mit Parameter: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:22 So 10.07.2016
Autor: fred97

für a=-1 hat die Matrix den Rang 2

fred

Bezug
                                
Bezug
Matrizen mit Parameter: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:43 So 10.07.2016
Autor: Fjury

Und warum das? Versteh ich nicht, der Rang verändert sich doch nur, wenn eine Nullzeile oder Nullspalte entsteht?

Bezug
                                        
Bezug
Matrizen mit Parameter: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 So 10.07.2016
Autor: fred97

schreib die Matrix mal hin, dann solltest du sehen, dass sie nur 2 linear unabhängige Zeilen hat.

fred

Bezug
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