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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizen regulär X^7
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Matrizen regulär X^7: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Sa 24.02.2007
Autor: hase-hh

Aufgabe
[mm] \pmat{ 1 & 1 &0 \\ 0 & x & 1 \\ x& 1& 0} [/mm]


a) Für welche x ist die Matrix X regulär?

b) Zeigen Sie, dass wenn X regulär ist, auch
b1) [mm] X^T [/mm] X regulär ist
b2)  -3X  [mm] X^7 [/mm]  regulär ist.


moin,

also

a) eine Matrix ist regulär, wenn ihre determinante [mm] \ne [/mm] 0 ist.

det(X)=0+x+0-0-1-0

det(X)=x-1   =>  für alle x [mm] \ne [/mm] 1  ist die Matrix X regulär.

b)

b1)
[mm] X^T [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 &x \\ 1 & x & 1 \\ 0& 1& 0} [/mm]


[mm] X^T [/mm] X  =  [mm] \pmat{ 1+x^2 & 1+x &0 \\ 1+x & 2+x^2 & x \\ 0& x& 1} [/mm]

[mm] det(X^T [/mm] X) = ... = [mm] (x-1)^2 [/mm]   =>   ebenfalls für alle x [mm] \ne [/mm] 1  regulär


b2)

-3X = [mm] \pmat{ -3 & -3 &0 \\ 0 & -3x & -3 \\ -3x& -3& 0} [/mm]

aber wie bildet man [mm] X^7 [/mm] ???

doch nicht X*X, XX *X usw...? gibt doch bestimmt einen eleganteren Weg?

danke und gruß
wolfgang

aber wie bildet man nun




        
Bezug
Matrizen regulär X^7: Determinante
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Sa 24.02.2007
Autor: heyks

Hallo Wolfgang,

du brauchst bloß den Multiplikationssatz für Determinanten anwenden.

Sind A, B n x n Matrizen, so gilt: det (A*B) = det (A)*det (B), insbesondere det [mm] (A^7) [/mm] = (det [mm] (A))^7. [/mm]

LG

Heiko

Bezug
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