Matrizen und Basisvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:14 Mo 05.06.2006 | | Autor: | maggi20 |
Hallo! Tut mir leid habe noch eine Verständindfrage. Könnte mir da vielleicht jemand bitte weiterhelfen. habe mich lange damit beschäftigt bin aber nicht drauf gekommen. Wie ändert sich Mf wenn man die Reihenfolge der Baisisvektoren ändert? Es sei f eine lineare Abbildung von V nach W. Bv sei eine Basis von V, Bw eine Basis von W, Mf die Matrix von f bzgl. einer vorgegebenen Reihenfolge der basisvektoren.
Liebe Grüsse
Maggi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:58 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Maggi!
> Hallo! Tut mir leid habe noch eine Verständindfrage. Könnte
> mir da vielleicht jemand bitte weiterhelfen. habe mich
> lange damit beschäftigt bin aber nicht drauf gekommen. Wie
> ändert sich Mf wenn man die Reihenfolge der Baisisvektoren
Also $f : [mm] K^n \to K^n$ [/mm] ist eine lineare Abbildung und $M f [mm] \in K^{n \times n}$ [/mm] ist die zugehoerige Darstellungsmatrix zur Basis [mm] $(v_1, \dots, v_n)$, [/mm] und du willst jetzt wissen, was passiert, wenn du die Reihenfolge der [mm] $v_i$ [/mm] aenderst?
Wenn $M f = [mm] (a_{ij})_{ij}$ [/mm] ist, dann ist ja per Definition [mm] $f(v_j) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n a_{ij} v_i$.
[/mm]
So. Wenn du jetzt die Reihenfolge der [mm] $v_i$'s [/mm] aenderst, etwa ueber die Permutation [mm] $\sigma$, [/mm] die [mm] $v_i$ [/mm] auf [mm] $v_{\sigma(i)}$ [/mm] abbildet, dann ist [mm] $v_{\sigma(j)} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n a_{\sigma(i) \sigma(j)} v_{\sigma(i)}$.
[/mm]
Also ist der $(i, j)$-Eintrag von der Darstellungsmatrix zur Basis [mm] $(v_{\sigma(1)}, \dots, v_{\sigma(n)})$ [/mm] gerade die Matrix [mm] $(a_{\sigma(i) \sigma(j)})_{ij}$: [/mm] Du tauscht also die Zeilen und Spalten genauso, wie du die Basisvektoren tauscht!
LG Felix
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