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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 09.11.2009 | | Autor: | Hanna-61 |
| Aufgabe | Aufgabe 2. Wir betrachten die Matrix A als Matrix
über die Körper Fp für p= 2, 3, 5 (die Einträge von A sind also Kongruenzklassen modulo p,
aber wir schreiben z.B. einfach 2 statt 2(Strich)).
Beantworten Sie für die 3 Fälle p = 2, 3, 5 jeweils die folgenden Fragen. Für welche
a ∈ Fp ist die Matrix
A=
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & a }
[/mm]
invertierbar und was ist dann A^-1 ? Multiplizieren Sie A und A^-1 , um Ihr Ergebnis zu
überprüfen, und stellen Sie die Einträge der Matrizen A^-1 durch Zahlen m + n · a, mit
m, n ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, dar, um die Vergleichbarkeit der Ergebnisse zu erleichtern.
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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Matrix-76
Ich finde für diese Aufgabe keinen gescheiten Ansatz...ich weiß nicht wozu ich die Werte von p brauche...vllt. habt ihr eine Idee wie man mit dieser Aufgabe anfangen könnte.
Liebe Grüße.
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> Aufgabe 2. Wir betrachten die Matrix A als Matrix
> über die Körper [mm] F_p [/mm] für p= 2, 3, 5 (die Einträge von A
> sind also Kongruenzklassen modulo p,
> aber wir schreiben z.B. einfach 2 statt [mm] \overline{2}
[/mm]
> Beantworten Sie für die 3 Fälle p = 2, 3, 5 jeweils
> die folgenden Fragen. Für welche
> a ∈ [mm] F_p [/mm] ist die Matrix
> A=
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & a }[/mm]
> invertierbar
> und was ist dann [mm] A^{-1} [/mm] ? Multiplizieren Sie A und [mm] A^{-1} [/mm] , um
> Ihr Ergebnis zu
> überprüfen, und stellen Sie die Einträge der Matrizen
> [mm] A^{-1} [/mm] durch Zahlen m + n · a, mit
> m, n ∈ {0, 1, . . . , p − 1}, dar, um die
> Vergleichbarkeit der Ergebnisse zu erleichtern.
>
> Ich finde für diese Aufgabe keinen gescheiten Ansatz...ich
> weiß nicht wozu ich die Werte von p brauche...vllt. habt
> ihr eine Idee wie man mit dieser Aufgabe anfangen könnte.
Hallo
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Diese Aufgabe besteht aus drei Teilaufgaben, denn Du sollst die Matrix jeweils über [mm] F_2, F_3, F_5 [/mm] untersuchen.
Fangen wir mit p=2 an.
Alle Einträge sind also aus [mm] F_2, [/mm] dh. wir können A auch schreiben als
[mm] A=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a }.
[/mm]
Nun sollst Du die Invertierbarkeit der Matrix prüfen, bzw. sagen, für welches a die Matrix invertierbar ist?
Welche Methoden kennst Du zur Überprüfung der Invertierbarkeit von Matrizen? (Stichworte: Determinante, Rang)
Zu welchem Ergebnis kommst Du hier?
Oder noch anders: Da der Körper [mm] F_2 [/mm] ja nur die beiden Elemente 0 und 1 enthält, kannst Du auch flugs für beide möglichen a die Invertierbarkeit durchrechnen.
Anschließend will man von Dir im Fall der Invertierbarkeit die inverse Matrix sehen. Matrizen invertieren kannst Du? Du mußt nun berücksichtigen, daß Du alles modulo 2 rechnen mußt.
Für p=3 und p=5 dann entsprechend.
Leg los und zeig, wie weit Du kommst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Di 10.11.2009 | | Autor: | Hanna-61 |
Danke, der Wahnsinn....jetzt sieht alles klarer aus  , aber eine Frage habe ich noch, was bedeutet es wenn ich modulo zwei rechnen soll...rechne ich dann nur mit 0 und 1 und nach gleichen Muster bei p=3 nur mit 0,1,2 oder habe ich da was falsch verstanden?
Gruß
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> Danke, der Wahnsinn....jetzt sieht alles klarer aus ,
> aber eine Frage habe ich noch, was bedeutet es wenn ich
> modulo zwei rechnen soll...rechne ich dann nur mit 0 und 1
> und nach gleichen Muster bei p=3 nur mit 0,1,2 oder habe
> ich da was falsch verstanden?
Hallo,
Du hast es haargenau richtig verstanden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 10.11.2009 | | Autor: | Hanna-61 |
Also für p=2 hat das ganze ja schon mal super funktioniert , aber jetzt bin ich mir nicht sicher, wie die Matrix für p=3 aussieht.....
[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & a } [/mm] ...sieht sie wirklich so aus, kommt mir seltsam vor, da ich die Null gar nicht mit betrachte...
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<task A=
$ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 1 & 4 & a } [/mm] $ </task>
> Also für p=2 hat das ganze ja schon mal super funktioniert
> , aber jetzt bin ich mir nicht sicher, wie die Matrix
> für p=3 aussieht.....
>
> [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & a }[/mm] ...sieht
> sie wirklich so aus, kommt mir seltsam vor, da ich die Null
> gar nicht mit betrachte...
Hallo,
wieso "Null nicht betrachte"? Wenn's in der Matrix keinen Eintrag gibt, der =0 ist, gibt's halt keinen.
Aber ich weiß nicht recht, was mit der Matrix passiert ist.
Wenn ich A aufschreibe mit Einträgen aus [mm] \{0,1,2\}, [/mm] dann bekomme ich
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a }.
[/mm]
Irgendwas hast Du verwurschtelt. Warum hast Du die Einser von zuvor zu Zweien gemacht, und die Zweier zu Einsen?
Tippfehler, oder spukt was Krauses in Deinem Kopf.
Restklassen mod 3: immer der Rest, der bei Division der Zahl durch 3 bleibt, bestimmt die zugehörige Restklasse.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Mi 11.11.2009 | | Autor: | Hanna-61 |
Oh, da habe ich wirklich was verwechselt...danke.
Also die Aufgabe habe ich jetzt soweit hinbekommen.
Danke für die nette und schnelle Hilfe.
Noch einen schönen Abend.
Gruß Hanna.
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