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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 So 20.06.2010 | | Autor: | dannyf86 |
| Aufgabe | 1. Sei K ein Körper und A [mm] \in K^{n\times n}. [/mm] Zeigen Sie: Ist A invertierbar, so existiert ein Polynom q [mm] \in [/mm] K[t] mit deg(p) [mm] \le [/mm] n − 1 und [mm] A^{-1} [/mm] = q(A), d.h. es existieren [mm] b_0, b_1, [/mm] . . . , [mm] b_{n-1} \in [/mm] K mit [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^{n-1} b_jA^j [/mm] = [mm] b_0 [/mm] In + [mm] b_1 [/mm] A + · · · + [mm] b_{n-1}A^{n-1}.
[/mm]
2. Sei A [mm] \in K^{n\times n} [/mm] nilpotent.
(i) Zeigen Sie, dass A nur Null als Eigenwert hat.
(ii) Bestimmen Sie [mm] P_A [/mm] und zeigen Sie [mm] A^n [/mm] = 0.
Hinweis: Sie dürfen annehmen, dass [mm] P_A [/mm] in Linearfaktoren zerfällt
(iii) Zeigen Sie, dass rI - A genau dann invertierbar ist, wenn r [mm] \in K\{0} [/mm] ist.
(iv) Zeigen Sie
(I - [mm] A)^{-1} [/mm] = I + A + [mm] A^2 [/mm] + · · · + [mm] A^{n-1}. [/mm] |
Hallo,
ich habe leider mal wieder Probleme mit nen paar Aufgaben. Also bei 1. habe ich gar keon Ansatz, da Ich mit Polynome wirklich Schwierigkeiten habe. Ich hoffe irgendwer kann mir da helfen. bei 2. hab eich aufjedenfall i hinbekommen. aber beim rest fehlt mir irgendwie der anfang. Ich wäre über hilfe echt dankbar.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Mo 21.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 1. Sei K ein Körper und A [mm]\in K^{n\times n}.[/mm] Zeigen Sie:
> Ist A invertierbar, so existiert ein Polynom q [mm]\in[/mm] K[t] mit deg(p) [mm]\le[/mm] n − 1 und [mm]A^{-1}[/mm] = q(A), d.h. es existieren [mm]b_0, b_1,[/mm] . . . , [mm]b_{n-1} \in[/mm] K mit [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]\summe_{j=0}^{n-1} b_jA^j[/mm] = [mm]b_0[/mm] In + [mm]b_1[/mm] A + · · · + [mm]b_{n-1}A^{n-1}.[/mm]
>
> 2. Sei A [mm]\in K^{n\times n}[/mm] nilpotent.
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> (i) Zeigen Sie, dass A nur Null als Eigenwert hat.
> (ii) Bestimmen Sie [mm]P_A[/mm] und zeigen Sie [mm]A^n[/mm] = 0.
> Hinweis: Sie dürfen annehmen, dass [mm]P_A[/mm] in Linearfaktoren zerfällt
> (iii) Zeigen Sie, dass rI - A genau dann invertierbar ist, wenn r [mm]\in K\{0}[/mm] ist.
> (iv) Zeigen Sie
> (I - [mm]A)^{-1}[/mm] = I + A + [mm]A^2[/mm] + · · · + [mm]A^{n-1}.[/mm]
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> ich habe leider mal wieder Probleme mit nen paar Aufgaben. Also bei 1. habe
> ich gar keon Ansatz, da Ich mit Polynome wirklich Schwierigkeiten habe.
Was ist denn dein Problem mit Polynomen?
Schau dir mal das charakteristische Polynom an. Kannst du etwas ueber den konstanten Term aussagen? Teile das Polynom doch mal durch diesen, nennen wir das Ergebnis mal $f$, und schreib $f(P)$ hin. Was kannst du ueber den Wert sagen? Und kannst du daraus etwas von der Form $A [mm] \cdot [/mm] (...) = I$ machen, wobei $...$ ein polynomieller Ausdruck in $A$ ist?
> Ich hoffe irgendwer kann mir da helfen. bei 2. hab eich aufjedenfall i
> hinbekommen. aber beim rest fehlt mir irgendwie der anfang. Ich wäre
> über hilfe echt dankbar.
Nun, bei (ii): Was hat das char. Polynom mit den Eigenwerten zu tun? Was haben Linearfaktoren mit Eigenwerten zu tun?
Bei (iii): Beachte, dass $r I - A$ invertierbar ist, wenn [mm] $\det(r [/mm] I - A) [mm] \neq [/mm] 0$ ist. Wenn du $r$ als Unbestimmte auffasst, was ist [mm] $\det(r [/mm] I - A)$? Benutze auch (ii).
Bei (iv): Multipliziere die rechte Seite doch mal mit $I - A$, und benutze (ii).
LG Felix
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