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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrizen vertauschbar?
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Matrizen vertauschbar?: Überprüfung, Denkfehler
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Di 27.01.2015
Autor: Michi4590

Aufgabe
Zwei quadratische Matrizen A und B heißen vertauschbar, wenn A*B = B*A gilt. Bestimmen Sie die allgemeine Form aller Matrizen A, die mit der gegebenen Matrix B vertauschbar sind.

B = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm]

Mein Ansatz:

Als A setze ich die Matrix: [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]

Dann benötige ich das Matrizenprodukt von A*B und B*A.

Aus diesem erstelle ich dann die Gleichungen:

Für die Gleichungen würde ich bekommen:

a = a +c
-b = 0
c = 0
-d = -b-d


Wäre das bis hierhin richitg?


Vielen Dank

        
Bezug
Matrizen vertauschbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Di 27.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo Michi4590!


> Zwei quadratische Matrizen A und B heißen vertauschbar,
> wenn A*B = B*A gilt. Bestimmen Sie die allgemeine Form
> aller Matrizen A, die mit der gegebenen Matrix B
> vertauschbar sind.
>
> B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
>  Mein Ansatz:
>  
> Als A setze ich die Matrix: [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>  
> Dann benötige ich das Matrizenprodukt von A*B und B*A.
> Aus diesem erstelle ich dann die Gleichungen:
>  
> Für die Gleichungen würde ich bekommen:
>  
> a = a +c
> -b = 0
>  c = 0
>  -d = -b-d
>  
>
> Wäre das bis hierhin richitg?

Ich habe keine Ahnung wie du darauf kommst. Bei mir ist

      [mm] A*B=\pmat{ a & -b \\ c & -d } [/mm] und [mm] B*A=\pmat{ a & b \\ -c & -d }. [/mm]


Gruß
DieAcht

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Bezug
Matrizen vertauschbar?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 Di 27.01.2015
Autor: fred97


> Hallo Michi4590!
>  
>
> > Zwei quadratische Matrizen A und B heißen vertauschbar,
> > wenn A*B = B*A gilt. Bestimmen Sie die allgemeine Form
> > aller Matrizen A, die mit der gegebenen Matrix B
> > vertauschbar sind.
> >
> > B = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
>  >  Mein Ansatz:
>  >  
> > Als A setze ich die Matrix: [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>  >  
> > Dann benötige ich das Matrizenprodukt von A*B und B*A.
>  > Aus diesem erstelle ich dann die Gleichungen:

>  >  
> > Für die Gleichungen würde ich bekommen:
>  >  
> > a = a +c
> > -b = 0
>  >  c = 0
>  >  -d = -b-d
>  >  
> >
> > Wäre das bis hierhin richitg?
>
> Ich habe keine Ahnung wie du darauf kommst. Bei mir ist
>  
> [mm]A*B=\pmat{ a & -b \\ c & -d }[/mm] und [mm]B*A=\pmat{ a & b \\ -c & -a }.[/mm]

Hallo Acht,

bei mir ist

   [mm]B*A=\pmat{ a & b \\ -c & -d }.[/mm]

Gruß FRED

>  
>
> Gruß
>  DieAcht


Bezug
                        
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Matrizen vertauschbar?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Di 27.01.2015
Autor: Michi4590

Die Matrix von A*B bekomme ich auch noch raus, aber wie kommt ihr auf das Ergebnis von B*A?

Ihr macht schon auch die folgende Matrixmultiplikation?

[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] * [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm]

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Bezug
Matrizen vertauschbar?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:48 Di 27.01.2015
Autor: fred97


> Die Matrix von A*B bekomme ich auch noch raus, aber wie
> kommt ihr auf das Ergebnis von B*A?
>  
> Ihr macht schon auch die folgende Matrixmultiplikation?
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm] * [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]

Na klar.

FRED


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Matrizen vertauschbar?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Di 27.01.2015
Autor: Michi4590

Dann bekomme ich aber für die Matrix:

1*a + 1*c = a+c
0*b + 0 * d = 0
0*a + 0*c = 0
-1*b +-1*d = -b-d

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Matrizen vertauschbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Di 27.01.2015
Autor: Steffi21

Hallo,

[mm] A*B=\pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }=\pmat{ a & -b \\ c & -d } [/mm]

[mm] B*A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }*\pmat{ a & b \\ c & d }=\pmat{ a & b \\ -c & -d } [/mm]

nun überlege dir, wann

[mm] \pmat{ a & -b \\ c & -d }=\pmat{ a & b \\ -c & -d } [/mm]

also wann

a=a
-b=b
c=-c
-d=-d

Steffi

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Matrizen vertauschbar?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Di 27.01.2015
Autor: Michi4590

Hi Steffi, das Problem ist, dass ich nicht auf das Ergebnis bei der Matrizenmultiplikation B*A komme?

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Matrizen vertauschbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Di 27.01.2015
Autor: fred97


> Hi Steffi, das Problem ist, dass ich nicht auf das Ergebnis
> bei der Matrizenmultiplikation B*A komme?


Dann mach Dich nochmal schlau, wie man Matrizen multipliziert.

Was Du in den falschen Hals bekommen hast, können wir nicht wissen.

FRED

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Matrizen vertauschbar?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Di 27.01.2015
Autor: Michi4590

Das Schlimme ist, dass A*B ja richtig ist :-)

Für B*A mache ich doch die folgenden Schritte:

1*a + 1*c = a+c
0*b + 0 * d = 0
0*a + 0*c = 0
-1*b +-1*d = -b-d

Bezug
                                                        
Bezug
Matrizen vertauschbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Di 27.01.2015
Autor: chrisno


> Das Schlimme ist, dass A*B ja richtig ist :-)
>  
> Für B*A mache ich doch die folgenden Schritte:
>  
> 1*a + 1*c = a+c

[notok] Zeile mal Spalte: Was steht in der ersten Zeile von B?



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Matrizen vertauschbar?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Di 27.01.2015
Autor: Michi4590

Ich hab mich da echt in der Multiplikation vertan, sorry.

Jetzt kommt

[mm] \pmat{ a & b \\ -c & -d } [/mm]

raus.


Dann hätte ich für die Gleichungen:

a = a
-b = b
c = -c
-d = -d

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Matrizen vertauschbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Di 27.01.2015
Autor: Steffi21

Hallo, überlege dir, welche Zahlen erfüllen besagte vier Gleichungen, Steffi

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Matrizen vertauschbar?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:24 Di 27.01.2015
Autor: Michi4590

Wenn ich die Gleichungen auflöse, dann bekomme ich

0=0
-2b = 0
2c = 0
0=0

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Bezug
Matrizen vertauschbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Di 27.01.2015
Autor: Steffi21

Hallo, du machst es dir aber kompliziert

a=a nur mal einige Beispiele 5=5; 12345=12345; -3,009=-3,009
-d=-d nur mal einige Beispiele -(-444)=-(-444); -5,678=-5,678; -0,001=-0,001

-b=b und c=-c erfüllt nur ......

jetzt solltest du entscheiden können, welche Form A hat

Steffi

Bezug
                                                                                        
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Matrizen vertauschbar?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:12 Di 27.01.2015
Autor: Michi4590

Dann wäre die allgemeine Form

[mm] \pmat{ a & 2b \\ -2c & -d } [/mm]

Bezug
                                                                                                
Bezug
Matrizen vertauschbar?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:18 Di 27.01.2015
Autor: fred97


> Dann wäre die allgemeine Form
>  
> [mm]\pmat{ a & 2b \\ -2c & -d }[/mm]  


Unsinn !

Es war  $A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] $

Wir wissen: b=c=0, a ist frei wählbar und ebenso d.

Fazit: für eine $2 [mm] \times [/mm] 2$ - Matric A gilt:

  $AB=BA$  [mm] \gdw [/mm] $A= [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & d } [/mm] $, wobei a und c beliebig gewählt werde können.

FRED



Bezug
                        
Bezug
Matrizen vertauschbar?: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:47 Di 27.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo Fred,


> bei mir ist
>  
> [mm]B*A=\pmat{ a & b \\ -c & -d }.[/mm]

Natürlich. :-)

Vielen Dank für die Korrektur!


Liebe Grüße
DieAcht

Bezug
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