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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mo 02.01.2006 | | Autor: | gosch |
| Aufgabe | | Es sei [mm] \mathit{K} [/mm] ein Körper. Die Matrix [mm] \mathit{A \in K^n ^\times ^n} [/mm] vertausche mit allen Matrizen aus [mm] \mathit{K^n ^\times ^n}, [/mm] d.h., für alle [mm] \mathit{B \in K^n ^\times ^n} [/mm] gelte [mm] \mathit{AB = BA}. [/mm] Zeige, dass [mm] \mathit{A} [/mm] die Form [mm] \mathit{a*E_n} [/mm] für ein [mm] \mathit{a \in K} [/mm] hat. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ein frohes Neues Jahr wünsche ich allen.
Ich habe problem mit dieser Aufgabe. Ich weiss zwar, wie das funktioniert, aber wie sollte ich das beweisen?
Meine Überlegungen: wenn [mm] \mathit{AB = BA} [/mm] ist, dann bedeutet das doch, dass [mm] \mathit{B} [/mm] die inverse Matrix zu [mm] \mathit{A} [/mm] ist und dann [mm] \mathit{AB = BA =E_n}
[/mm]
[mm] \mathit{a*E_n} [/mm] hat die Form (wenn wir mit den Matrizen 2 [mm] \times [/mm] 2 arbeiten) [mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & a}
[/mm]
Kann mir jemand helfen die Aufgabe fertig zu kriegen?
Danke im Voraus
mfG Gosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Mo 02.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Gosch
Du musst zeigen, wenn die Matrix A mit allen Matrizen B kommutiert, dann ist A ein Vielfaches der Einheitsmatrix.
Für B nimmt man am besten die sogenannten Elementarmatrizen [mm] $E_{i,j}$ [/mm] dessen Elemente alle 0 sind bis auf das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte, das 1 ist.
Jetzt berechnet man [mm] $AE_{i,j}$ [/mm] und [mm] $E_{i,j}A$, [/mm] die nach Voraussetzung an A gleich sein müssen.
Wenn man das für alle Elementarmatrizen macht, kann man relativ einfach sehen, dass A ein Vielfaches der Einheitsmattix ist, denn die Elemente auf der Diagonalen müssen alle gleich sein, und die übrigen Elemente alle 0.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mo 02.01.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo Moudi,
kann ich dann am Beispiel zeigen: 2 [mm] \times [/mm] 2 Matrix [mm] \mathit{A}\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] multipliziere ich mit der Matrix [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }, [/mm] dann umgekehrt und vergleiche dann die Elemente. Dann multiepliziere ich mit [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 }, [/mm] demnächst mit [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 } [/mm] und schließlich mit [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }. [/mm] Wenn ich dann alle Elemente vergleiche bekomme ich, dass a = a, a = d
b = 0, c = 0
d = d, d = a
Reicht es, oder sollte ich es allgemein zeigen?
mfG Gosch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mo 02.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo gosch
Man kann es schon allgemein zeigen.
[mm] $E_{ij}A$ [/mm] ist eine Matrix, die aus lauter Nullen besteht ausser in der Zeile i, die aus der j-ten Zeile von A besteht.
[mm] $AE_{ij}$ [/mm] ist eine Matrix, die aus lauter Nullen besteht ausser in der Spalte j, die aus der i-ten Spalte von A besteht.
Daraus schliesst man einerseits, dass [mm] $a_{jj}=a_{ii}$, [/mm] denn diese Elemente stehen an der (i,j)-ten Stelle der Matrizen [mm] $E_{ij}A$ [/mm] und [mm] $AE_{ij}$.
[/mm]
Andrerseits müssen die Elemente [mm] $a_{ji}=0$ [/mm] für [mm] $j\neq [/mm] i$, denn diese Elemente stehen in der i-ten Zeile von [mm] $E_{ij}A$, [/mm] während die Matrix [mm] $AE_{ij}$ [/mm] dort aus lauter 0 besteht bis auf das (i,j)-te Glied.
Wendet man das für alle verschiedenen i und j an, so sieht man, dass alle Diagonalelemente gleich sein müssen und alle anderen Elemente 0
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 02.01.2006 | | Autor: | gosch |
Danke Moudi,
ich habe es verstanden.
Schöne Grüße
Gosch
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