Matrizenberechnen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Do 21.10.2010 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | Gegeben sei ein Einheitsvektor v des [mm] \IR^{3} [/mm] d.h. |v|=1. Die 3x3 Matrizen A,P und H seien definiert durch:
A = [mm] vv^{T}, [/mm] P = [mm] I-vv^{T}, [/mm] H = I - [mm] 2*vv^{T}
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] A^{2}, P^{2}, H^{2} [/mm] |
Ich war diese Woche leider krank und konnte deshalb nicht an die Uni gehen, nun scheint mir das ich einiges verpasst habe. Wie muss ich hier vorgehen ich habe keinen plan. vielen dank schon im voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei ein Einheitsvektor v des [mm]\IR^{3}[/mm] d.h. |v|=1.
> Die 3x3 Matrizen A,P und H seien definiert durch:
>
> A = [mm]vv^{T},[/mm] P = [mm]I-vv^{T},[/mm] H = I - [mm]2*vv^{T}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie [mm]A^{2}, P^{2}, H^{2}[/mm]
> Ich war diese Woche
> leider krank und konnte deshalb nicht an die Uni gehen, nun
> scheint mir das ich einiges verpasst habe. Wie muss ich
> hier vorgehen ich habe keinen plan. vielen dank schon im
> voraus!
Wie man Matrizen multipliziert ist Dir klar ? Wenn ja, so schreib mit $v= [mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}$ [/mm] die Matrix A mal hin.
Beachte im Folgenden: [mm] v_1^2+v_2^2+v_3^2=1.
[/mm]
Wenn Du das tust und Dich nicht verrechnest, solltest Du bekommen:
[mm] $A^2=A, P^2=P$ [/mm] und [mm] $H^2=I$
[/mm]
Wenn Du nicht weißt, wie man Matrizen multipliziert, so solltest Du Dich so umgehend wie geschwind schlau machen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 21.10.2010 | | Autor: | Marius6d |
ja wie man Matrizen multipliziert weiss ich eigentlich, dann muss ich hier das Tensorprodukt machen oder? etwas anderes ist ja nicht definiert?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> ja wie man Matrizen multipliziert weiss ich eigentlich,
Prima.
> dann muss ich hier das Tensorprodukt machen oder?
Was soll das denn ?
> etwas anderes ist ja nicht definiert?!
?????????????????????
Nochmal: es ist $ v= [mm] \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3} [/mm] $. Dann ist
[mm] $v*v^T= \vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}*(v_1,v_2,v_3)$
[/mm]
Nun berechne doch mal diese 3x3-Matrix
Mach einfach mal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Do 21.10.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ja das habe ich ja eben gemacht, und laut wikipedia heisst das "Tensorprodukt", also dann ist: ich habe für eine einfachere darstellung v1, v2, v3 mit x,y,z ersetzt
A = [mm] \pmat{ x^{2} & xy & xz \\ yx & y^{2} & yz \\ zx & zy & z^{2}}
[/mm]
Und nun wie weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Do 21.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja das habe ich ja eben gemacht, und laut wikipedia heisst
> das "Tensorprodukt", also dann ist: ich habe für eine
> einfachere darstellung v1, v2, v3 mit x,y,z ersetzt
>
> A = [mm]\pmat{ x^{2} & xy & xz \\ yx & y^{2} & yz \\ zx & zy & z^{2}}[/mm]
>
>
> Und nun wie weiter?
Mann oh mann, hab ich doch oben schon gesagt.:
Brechne jetzt [mm] A^2 [/mm] unter Beachtung von [mm] x^2+y^2+z^2=1
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Di 26.10.2010 | | Autor: | Marius6d |
Ok Aufgabe a habe ich gemacht, das habe ich jetzt verstanden.
Nun gibt es weitere Aufgaben:
c) die Matrizen A, P und H definieren lineare Abbildungen.
A --> y = Ax
P --> y = Px
H --> y = Hx
Alle [mm] \in \IR^{3}
[/mm]
Beschreiben Sie die Abbildungen geometrisch. Zerlegen Sie dazu den Vektor x in je eine Komponente orthogonal und parallel zu v, d.h. x = [mm] x\perp [/mm] + [mm] x\parallel [/mm] mit [mm] v^{T}x\perp [/mm] = 0 und [mm] v^{T}x\parallel [/mm] = [mm] |x\parallel|
[/mm]
Also hab ich das mal probiert, für Ax komme ich dann auf:
Ax = [mm] v*|x\parallel|
[/mm]
Nur wie interpretiere ich das nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf dein Ergebnis? ich komm auf ein anderes.
Wenn dienes sitimmt, dann wird ja x um 90° gedreht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Di 26.10.2010 | | Autor: | Marius6d |
Also
Ax = [mm] vv^{T}*(x\perp [/mm] + [mm] x\parallel)
[/mm]
Ax = [mm] vv^{T}x\perp [/mm] + [mm] vv^{T}x\parallel
[/mm]
[mm] vv^{T}x\perp [/mm] ist ja 0
das heisst:
Ax = [mm] vv^{T}x\parallel
[/mm]
und [mm] vv^{T}x\parallel [/mm] ist ja wiederum [mm] v*|x\parallel|
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:19 Di 26.10.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
Richtig, ich hatte einen Fehler., also wird x auf v projiziert.
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Ok, in diesem Fall verstehe ich, dass es x auf v projeziert wird. Wie muss ich aber dies in den beiden anderen Fällen verstehen?
Für Px komme ich auf:
Px = [mm] (I-vv^{T})*(x\perp+x\parallel)
[/mm]
Px = [mm] Ix\perp [/mm] + [mm] Ix\parallel [/mm] - [mm] vv^{T}x\perp [/mm] - [mm] vv^{T}x\parallel
[/mm]
Px = [mm] I*(x\perp+x\parallel) -v*(|x\parallel|)
[/mm]
Wie habe ich dieses Ergebnis zu interpretieren? Der Vektor x bleibt bestehen [mm] (I*(x\perp+x\parallel)) [/mm] und davon wird noch die Projektion von v abgezogen? [mm] (v*(|x\parallel|))
[/mm]
Und für Hx
Hx = [mm] (I-2vv^{T})*(x\perp+x\parallel)
[/mm]
Hx = [mm] Ix\perp [/mm] + [mm] Ix\parallel -2vv^{T}x\perp [/mm] - [mm] 2vv^{T}x\parallel
[/mm]
Hx = [mm] I*(x\perp+x\parallel) [/mm] - [mm] 2v*(|x\parallel|)
[/mm]
Und wie dieses Ergebnis? Vielen Dank schon mal für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 28.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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