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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Matrizenberechnung
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Matrizenberechnung: Denkanstoss
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Mo 13.03.2006
Autor: ghostrifle

Aufgabe
Die Matrix A =  [mm] \pmat{ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 3} [/mm] beschreibe eine lineare Abbildung.

a) Bestimmen Sie die Dimension des Bildes von A.
b) Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von A.
c) Bestimmen Sie alle Urbilder des Vektors [mm] \vektor{7\\1\\3\\3}. [/mm] D.h lösen Sie A * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{7\\1\\3\\3} [/mm]

Zur Zeit arbeite ich mich in die Matrizenrechnung ein. Matrizenmultiplikation/addition , sowie die Determinante von A auszurechnen ist kein Problem. Mein Problem liegt darin dass ich nicht die richtigen Unterlagen habe und im Netz nichts richtiges finde. Daher:

a) wie bestimme ich die Dimension ?? Ist damit z.b. [mm] R^3 [/mm] oder [mm] R^2 [/mm] gemeint ?
b) Wie gehe ich vor ? Wie kann ich den Kern bestimmen?
c) ein lineares Gleichungssystem erstellen, und mittels Gauss auflösen ?

        
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Matrizenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Mo 13.03.2006
Autor: Tini21

Die Dimension des Bildes ist die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren!! d.h. du muss prüfen ob die 3 spaltenvektoren l.u. sind oder nicht. sind sie l.u ist die dimension 3......
Den Kern berechnest du, indem du in Ax=b für b die null einsetzt. der kern sind alle urbilder, die auf die 0 abgebildet werden.

Bezug
                
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Matrizenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Mo 13.03.2006
Autor: ghostrifle

Danke für die rasche Antwort.

Zum Kern, d.h. ich soll folgende Gleichung aufstellen

[mm] \pmat{ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 2 & 0 \\1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 3} \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{0} [/mm]

Diese Gleichung könnte ich ja dann mittels Gauss ebenfalls ausrechen, oder ?? Was mich jedoch irretiert ist, das folgendes Vorgegeben ist:
A * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{7\\1\\3\\3} [/mm]

Wie würde ich in diesem konrekten Fall vorgehen ? Sorry, wenn ich mich gerade etwasd zu dumm dranstelle aber mir fehlt noch der nötige Überblick bei dieser Thematik

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Matrizenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:39 Mo 13.03.2006
Autor: Tini21

ja, also mit dem kern, das kannst du meiner meinung nach so machen.....
was irritiert dich an dem 3. Teil der Aufgabe? Ich würde für A die Matrix einsetzen und das Gleichungssystem lösen......

Bezug
                                
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Matrizenberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:29 Mo 13.03.2006
Autor: ghostrifle

Uh, hat ein wenig gedauert bis der Groschen gefallen ist.

Die beiden 'lin.Gleichungen würden dann so aussehen:

Für den Kern:

2x1 -x2  +5x3 = 0
x1 +2x2  = 0
x1 + 2x3 = 0
-3x2 + 3x3 = 0

Für den dritten Teil:
2x1 -x2  +5x3 = 7
x1 +2x2  = 1
x1 + 2x3 = 3
-3x2 + 3x3 = 3

Jetzt einfach Gauss' anwenden und gut ist, nicht wahr ?

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Matrizenberechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:25 Mo 13.03.2006
Autor: Tini21

ja, so hätte ich es auch gemacht!!

Bezug
        
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Matrizenberechnung: Unterlagen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Mo 13.03.2006
Autor: Mr.Peanut

Habe diesen link hab ich mal gefunden. Hat mir damals weitergeholfen.

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node6.html




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