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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Lösung X der Matrizengleichung X*A - B = E*(X+A) mit E = Einheitsmatrix, A= [mm] \pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 1 } [/mm] und B= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 } [/mm] |
Hallo Ihr Alle! ^^
Ich habe die folgende Aufgabe zu lösen und weiß nicht recht wie der Lösungweg aussehen soll. Es wäre klasse wenn sich jemand mit Kenntnis auf dem Gebiet findet der mir hilft. Ein Lösungsweg wäre natürlich klasse, damit ich ihn einmal nachvollziehen kann. Habe noch 3 weitere Aufgaben, an die ich mich dann mal alleine ranwagen könnte. Im voraus vielen Dank! 
grüße
Steffi
:-D
PS: Der Newie-Satz:
((Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.))
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Hallo!
Erstmal solltest du die gesuchte Matrix hinschreiben
[mm] $X=\pmat{ x_{11} & x_{21} \\ x_{12} & x_{22} }$
[/mm]
und einsetzen.
Jetzt kannst du z.B. X+A ausrechnen, da werden die Komponenten ja einfach addiert.
Nun, was passiert, wenn du eine beliebige Matrix mit der Einheitsmatrix multiplizierst?
Jetzt hast du rechts nur noch eine Matrix stehen.
Links geht es im Prinzip genauso, rechne erstmal X*A aus, und ziehe anschließend B ab.
Dann hast du links und rechts jeweils eine Matrix stehen. Jede Komponente der einen Matrix muß gleich der entsprechenden Komponente der anderen sein.
Das gibt dir vier Gleichungen mit vier Unbekannten, das mußt du nun lösen.
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Hallo nochmal! :)
@Event_Horizon:
leider hilft mir deine Antwort noch nicht so richtig weiter, da ich schon scheitere wenn ich "X" aufstellen soll!? :(
Über weitere Hilfe würde ich mich sehr freuen, bin leider in der Matrizenrechnung vollkommener Anfänger und der Prof der unterrichtet erklärt das finde ich nicht wirklich gut, so dass ich nichts verstehe! :(
grüße
Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
EH hat dir doch x schon aufgestellt!
nimm das und multiplizier es mit A einerseits und addier es zu A andererseits.
wahrscheinlich sollt ihr a) üben Matrizen zu multiplizieren, und addieren. b) Gleichungsystem mit 4 Unbekannten lösen.
Wenn du EH Vorschlag nicht magst nimm [mm] X=\pmat{ x & y \\ z & w }
[/mm]
Gruss leduart.
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Hallo Leduart!
Also, die Ausgangsgleichung ist ja: X*A - B = E*(X+A)
X ist wie ihr beide geschrieben habt: [mm] X=\pmat{ x_{11}& x_{12} \\ x_{21} & x_{22} }
[/mm]
Also würde meine Gleichung nach dem Einsetzen ja folgendermaßen aussehen:
[mm] \pmat{ x_{11}& x_{12} \\ x_{21} & x_{22} } [/mm] * [mm] \pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 } [/mm] = E * [mm] \pmat{ x_{11}& x_{12} \\ x_{21} & x_{22} } [/mm] + [mm] \pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Wenn ich jetzt erst rechts X + A rechne, kommt da dann raus:
X + A = [mm] \pmat{ 3x & 2x \\ 1x & 1x } [/mm] ? Das E=Einheitsmatrix fällt dann doch weg, oder? (E*X = X)
Für eine Antwort wäre ich sehr dankbar, ob es denn bis hier schonmal richtig ist!
Liebe Grüße
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
3+x ist doch nicht 3*x:
deshalb ist dein X+A falsch.
Gruss leduart
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Arg, ja klar Ich hab links geguckt, da ist ja X*A. Also würde bei Addition der Matrizen doch rauskommen:
X + A = [mm] \pmat{ 3+x & 1+x \\ 2+x & 1+x } [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mo 02.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
X+A ist jetzt richtig. Aber vorsicht, was du davor geschrieben hast war NICHT X*A da musst du richtig Matrixmultiplikation machen.
Gruss leduart
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Hallo,
leider ist dein X*A-B noch nicht korrekt:
[mm] x=\pmat{ x_1_1 & x_1_2 \\ x_2_1 & x_2_2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ x_1_1 & x_1_2 \\ x_2_1 & x_2_2 }*\pmat{ 3 & 2 \\ 1 & 1 }-\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 3x_1_1+x_1_2 & 2x_1_1+x_1_2 \\ 3x_2_1+x_2_2 & 2x_2_1+x_2_2 }-\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 3 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 3x_1_1+x_1_2-1 & 2x_1_1+x_1_2-2 \\ 3x_2_1+x_2_2-2 & 2x_2_1+x_2_2-3 } [/mm] linke Seite
[mm] \pmat{ 3x_1_1+x_1_2-1 & 2x_1_1+x_1_2-2 \\ 3x_2_1+x_2_2-2 & 2x_2_1+x_2_2-3 }=\pmat{ x_1_1+3 & x_1_2+2 \\ x_2_1+1 & x_2_2+1 }
[/mm]
jetzt gleichsetzen:
1. GL: [mm] 3x_1_1+x_1_2-1=x_1_1+3
[/mm]
2. GL: [mm] 2x_1_1+x_1_2-2=x_1_2+2
[/mm]
3. GL: ...
4. GL: ...
beginne mit der 2. GL, du erhälst [mm] x_1_1=
[/mm]
weiter mit der 4. GL, du erhälst [mm] x_2_1=
[/mm]
Steffi
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Hallo!
Also, wenn die die Gleichungen aufstelle sieht es ja so aus:
1. GL: [mm] 3x_{11} [/mm] + [mm] x_{12} [/mm] - 1 = [mm] x_{11} [/mm] + 3
2. GL: [mm] 2x_{11} [/mm] + [mm] x_{12} [/mm] - 2 = [mm] x_{12} [/mm] + 2
3. GL: [mm] 3x_{21} [/mm] + [mm] x_{22} [/mm] - 2 = [mm] x_{21} [/mm] + 1
4. GL: [mm] 2x_{21} [/mm] + [mm] x_{22} [/mm] - 3 = [mm] x_{22} [/mm] + 1
Nehme ich nun die 2. GL um [mm] x_{11} [/mm] zu bestimmen und die 4. GL um [mm] x_{21}, [/mm] so erhalte ich die folgenden Werte:
[mm] x_{11} [/mm] = 2, [mm] x_{21} [/mm] = 2
Das Problem ist nur, was mache ich jetzt um die anderen beiden Werte zu bestimmen? Denn da bekomme ich entweder den Wert 0 raus oder einen negativen!?
Bitte um Hilfe so kurz vorm Ziel! :)
Daaaankee!
Steffi
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Hallo,
du hast [mm] x_1_1=2 [/mm] in die 1. Gleichung eingesetzt, du bekommst [mm] x_1_2=0
[/mm]
du hast [mm] x_2_1=2 [/mm] in die 3. Gleichung eingesetzt, du bekommst [mm] x_2_2=-1
[/mm]
somit [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 2 & -1 }, [/mm] jetzt kannst du noch die Probe machen,
Steffi
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Hey super! Hab gerade die Probe gemacht, das klappt wunderbar. War irgendwie irritiert wegen der -1 und der 0. Naja, vielen lieben Dank!
Eine Frage hab ich aber nochmal: Bei einer anderen Aufgabe, an die ich mich jetzt setzen möchte, ist folgendes gegeben: X*A - B = E*(X+1) Die Matrizen A und B sind identisch zu der anderen Aufgabe.
Wie gehe ich mit der +1 um? Stelle ich wieder erst die Matrix für X auf:
[mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} }
[/mm]
und nehm die dann einfach +1? Würde daraus dann werden:
[mm] \pmat{ x_{11}+1 & x_{12}+1 \\ x_{21}+1 & x_{22}+1 } [/mm] ?
Grüße
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, machs so.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mo 02.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
>
> Erstmal solltest du die gesuchte Matrix hinschreiben
>
> [mm]X=\pmat{ x_{11} & x_{21} \\ x_{12} & x_{22} }[/mm]
>
> und einsetzen.
Warum so hastig die ganze Übung auf Koordinaten herunterziehen? Man kann doch rein "matrixalgebraisch" die Matrix [mm]X[/mm] auf einer Seite isolieren (oder täusche ich mich da?):
[mm]\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & X A - B &=& E (X+A)\\
\text{(2)} & X A - B &=& E X + E A\\
\text{(3)} & X A - E X &=& A + B\\
\text{(4)} & X A - X E &=& A + B\\
\text{(5)} & X (A-E) &=& A + B\\
\text{(6)} & X &=& (A+B) (A-E)^{-1}
\end{array}[/mm]
Vorausgesetzt natürlich, dass [mm]A-E[/mm] regulär und daher invertierbar ist.
>
> Jetzt kannst du z.B. X+A ausrechnen, da werden die
> Komponenten ja einfach addiert.
>
> Nun, was passiert, wenn du eine beliebige Matrix mit der
> Einheitsmatrix multiplizierst?
>
> Jetzt hast du rechts nur noch eine Matrix stehen.
>
> Links geht es im Prinzip genauso, rechne erstmal X*A aus,
> und ziehe anschließend B ab.
>
> Dann hast du links und rechts jeweils eine Matrix stehen.
> Jede Komponente der einen Matrix muß gleich der
> entsprechenden Komponente der anderen sein.
> Das gibt dir vier Gleichungen mit vier Unbekannten, das
> mußt du nun lösen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Di 03.07.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Somebody,
> Warum so hastig die ganze Übung auf Koordinaten
> herunterziehen? Man kann doch rein "matrixalgebraisch" die
> Matrix [mm]X[/mm] auf einer Seite isolieren (oder täusche ich mich
> da?):
> [mm]\begin{array}{crcl}
\text{(1)} & X A - B &=& E (X+A)\\
\text{(2)} & X A - B &=& E X + E A\\
\text{(3)} & X A - E X &=& A + B\\
\text{(4)} & X A - X E &=& A + B\\
\text{(5)} & X (A-E) &=& A + B\\
\text{(6)} & X &=& (A+B) (A-E)^{-1}
\end{array}[/mm]
Die Aequivalenz von (3) und (4) leuchtet mir nicht ein. Im allgemeinen
ist [mm] $EX\ne [/mm] XE$.
lg
Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Di 03.07.2007 | | Autor: | Vreni |
Im allgemeine stimmt schon, dass Matrizen nicht kommutativ sind, also [mm]A*B\not=B*A[/mm]
Aber hier ist E ja die Einheitsmatrix, also die Identität:
[mm]X*E=X=E*X[/mm]
Gruß,
Vreni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Di 03.07.2007 | | Autor: | Somebody |
> Im allgemeine stimmt schon, dass Matrizen nicht kommutativ
> sind, also [mm]A*B\not=B*A[/mm]
>
> Aber hier ist E ja die Einheitsmatrix, also die
> Identität:
> [mm]X*E=X=E*X[/mm]
Genau. Und mein mehr "algebraischer" Lösungsvorschlag hat auch die wünschenswerte Eigenschaft, dass sogar das richtige dabei herauskommt 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:30 Di 03.07.2007 | | Autor: | luis52 |
> Im allgemeine stimmt schon, dass Matrizen nicht kommutativ
> sind, also [mm]A*B\not=B*A[/mm]
>
> Aber hier ist E ja die Einheitsmatrix, also die
> Identität:
> [mm]X*E=X=E*X[/mm]
Ah, verstehe. Die Symbolik war mir etwas fremd, da die Identitaet meistens mit $I$ bezeichnet wird. Ferner wird mit $E$ gerne eine Matrix bestehend aus lauter Einsen bezeichnet.
Dann stimmt natuerlich die von mir monierte Herleitung.
lg
Luis
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