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Matrizengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Fr 13.01.2012
Autor: s1mn

Aufgabe
Es sei A [mm] \in K^{k,l} [/mm] und B [mm] \in K^{k,m}. [/mm] Wann ist die Matrixgleichung
AX = B
für beliebiges B eindeutig lösbar (k, l, m sind beliebige aber feste natürliche Zahlen)?
Wann gibt es also für jede Matrix B [mm] \in K^{k,m} [/mm] genau eine Matrix X [mm] \in K^{l,m}, [/mm] welche die Gleichung löst?


Mal wieder ne Frage von mir....

Hab mir zu der Aufgabe mal ne Überlegung gemacht.

Im Fall k=l= m gibt es ja eine inverse Matrix zu A, also [mm] A^{-1}. [/mm] Aber nur wenn A quadratisch ist, also k=l.
Wenn es die inverse Matrix gibt, dann kann man diese ja von links heranmultiplizieren:

[mm] A^{-1} [/mm] * A * X = [mm] A^{-1} [/mm] * B [mm] \gdw [/mm] ( [mm] A^{-1} [/mm] * A) * X = [mm] A^{-1} [/mm] * B [mm] \gdw [/mm] E * X = [mm] A^{-1} [/mm] * B [mm] \gdw [/mm] X = [mm] A^{-1} [/mm] * B.

Und da k=l=m gilt, ist dann auch die Matrixmultiplikation von X mit B möglich, da X [mm] \in K^{k,k} [/mm] und B [mm] \in [/mm] K{k,k}.

Sind meine Überlegungen für die Aufgabe richtig oder bin ich an der Aufgabe vorbei ?

        
Bezug
Matrizengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:22 Fr 13.01.2012
Autor: fred97


> Es sei A [mm]\in K^{k,l}[/mm] und B [mm]\in K^{k,m}.[/mm] Wann ist die
> Matrixgleichung
>  AX = B
>  für beliebiges B eindeutig lösbar (k, l, m sind
> beliebige aber feste natürliche Zahlen)?
> Wann gibt es also für jede Matrix B [mm]\in K^{k,m}[/mm] genau eine
> Matrix X [mm]\in K^{l,m},[/mm] welche die Gleichung löst?
>  
> Mal wieder ne Frage von mir....
>  
> Hab mir zu der Aufgabe mal ne Überlegung gemacht.
>  
> Im Fall k=l= m gibt es ja eine inverse Matrix zu A, also
> [mm]A^{-1}.[/mm] Aber nur wenn A quadratisch ist, also k=l.


Nicht jede quadratische Matrix ist invertierbar !!


>  Wenn es die inverse Matrix gibt, dann kann man diese ja
> von links heranmultiplizieren:
>  
> [mm]A^{-1}[/mm] * A * X = [mm]A^{-1}[/mm] * B [mm]\gdw[/mm] ( [mm]A^{-1}[/mm] * A) * X = [mm]A^{-1}[/mm]
> * B [mm]\gdw[/mm] E * X = [mm]A^{-1}[/mm] * B [mm]\gdw[/mm] X = [mm]A^{-1}[/mm] * B.
>  


Das stimmt, falls k=l=m ist und A invertierbar ist.


> Und da k=l=m gilt, ist dann auch die Matrixmultiplikation
> von X mit B möglich,


Wozu ?

FRED


> da X [mm]\in K^{k,k}[/mm] und B [mm]\in[/mm] K{k,k}.
>  
> Sind meine Überlegungen für die Aufgabe richtig oder bin
> ich an der Aufgabe vorbei ?


Bezug
                
Bezug
Matrizengleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:31 Fr 13.01.2012
Autor: s1mn

Sorry war ein Tippfehler.
Meinte eigentlich die Multiplikation von [mm] A^{-1} [/mm] und B ist dann möglich.

Also X = [mm] A^{-1} [/mm] * B.

Ok also passt mein Ansatz zur Aufgabe in etwa oder eher nicht ?
Es muss A eben invertierbar sein, k=l=m und dann ist die Gleichung für beliebiges B eindeutig lösbar ?!

Bezug
                        
Bezug
Matrizengleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Fr 13.01.2012
Autor: fred97


> Sorry war ein Tippfehler.
>  Meinte eigentlich die Multiplikation von [mm]A^{-1}[/mm] und B ist
> dann möglich.
>  
> Also X = [mm]A^{-1}[/mm] * B.
>  
> Ok also passt mein Ansatz zur Aufgabe in etwa oder eher
> nicht ?

Doch passt.


>  Es muss A eben invertierbar sein, k=l=m und dann ist die
> Gleichung für beliebiges B eindeutig lösbar ?!

Ja

FRED


Bezug
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