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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 So 05.12.2004 | | Autor: | shifty |
Hallo,
ich weiss nicht wirklich ob ich da richtig liege:
Lösen Sie folgende Matrizengleichungen nach X auf:
a.) A*X=B
= meine ich ist ganz normal!? X=B/A
b.) X*B=A
= meine ist ist ganz normal!? X=A/B
c.) D*X+B-C=4*(X-A)+G*X
= Kein Plan!
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Zuerstmal: die Division von Matrizen ist gar nicht definiert.
Um eine 'unerwünschte' Matrix als Faktor wegzubekommen, muss man mit der Inversen durchmultiplizieren. Und zwar von der richtigen Seite, denn das Kommutativgesetz bei der Multiplikation gilt nicht, d.h. [mm]AB \not= BA[/mm] (außer in ganz seltenen Fällen, aber i.a. nicht).
Um also bei deiner 1. Gleichung [mm]A \cdot X = B[/mm] das X zu 'befreien', muss man das A wegbekommen, also mit [mm]A^{-1}[/mm] durchmultiplizieren. Und ganz wichtig: weil das A links steht, muss man von links durchmultiplizieren (warum, zeige ich nachher auf).
Also hat man hier: [mm]A \cdot X = B[/mm] [mm]| \cdot A^{-1}[/mm] von links
[mm]\gdw[/mm] [mm]A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B[/mm]
[mm]\gdw[/mm] [mm]X = A^{-1} \cdot B[/mm]
Dabei habe ich verwendet: [mm]A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = E[/mm]
Was würde passieren, wenn man das [mm]A^{-1}[/mm] "von egal welcher Seite dranmultipliziert"? Wenn's von rechts dranmultipliziert wird, hätte man den Fall [mm]A \cdot X \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1}[/mm]
Problem: auf der linken Seite kommen die [mm]A[/mm] und [mm]A^{-1}[/mm] nicht zusammen, da wegen dem nicht geltenden Kommutativgesetz die Faktoren nicht so 'verschoben' werden dürfen, dass 'es gerade passt'.
Die zweite Aufgabe kannst jetzt selber mal probieren, ist jetzt wohl ziemlich einfach.
Noch ein paar Hinweise zur dritten Aufgabe:
wenn man aus dem Term [mm]4x^2+2x[/mm] das [mm]2x[/mm] ausklammert, dann hat erhält man [mm]2x \cdot (2x + 1)[/mm].
Und so, wie das "+1" übrigbleibt, gibt's auch eine Rechenregel beim Ausklammern von Matrizen.
Hat man z.B. den Fall [mm]4A+BA[/mm], und will das A ausklammern, so erhält man [mm](4E+B)A[/mm].
WICHTIG: das E ist die Einheitsmatrix, sie ist das sog. 'multiplikative neutrale Element" der Matrizenmultiplikation, wie die Zahl 1 beim Multiplizieren von Zahlen. Und ein Term [mm]4+B[/mm] in der Klammer wäre gar nicht definiert, da man eine Zahl nicht zu einer Matrix addieren kann.
NOCH WICHTIGER: auch beim Ausklammern ist es wichtig, in welcher Reihenfolge die Faktoren nachher dastehen! Hier musste das A rechts an die Klammer ran, da A auch bei beiden Summanden rechts stand (vor dem Ausklammern).
Und jetzt lös mal alle Klammern durch Ausmultiplizieren, bring alle Summanden mit der Matrix X auf eine Seite, alle ohne X auf die andere, und isoliere das X durch ausklammern und richtigem Durchmultiplizieren mit der Inversen.
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