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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 Do 23.02.2012 | | Autor: | sinalco |
| Aufgabe | 1.) zwei Matrizen A,B heißen ähnlich, wenn B = T A [mm] T^{-1} [/mm]
2.) eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn D = T* A T = [mm] T^{-1} [/mm] A T gilt, d.h. es existiert eine Diagonalmatrix D die ähnlich ist zu A.
(wobei mit T* die unitäre Matrix von T gemeint ist, was bedeutet dass T* = [mm] T^{-1} [/mm] |
Meine Frage ist nun, wo das [mm] T^{-1} [/mm] stehen muss?! Offensichtlich ist das [mm] T^{-1} [/mm] genau einmal vor der Matrix A und einmal hinter der Matrix (in der Reihenfolge der Multiplikation).
Ich weiß, dass gilt (A * B) * C = A * (B * C) ... das heißt nur, dass es egal ist, wo ich anfange zu multiplizieren, aber nicht ob ich [mm] T^{-1} [/mm] von rechts oder von links an multipliziere. Allgemeine Kommutativität gilt bekanntlicherweiße nicht!
Vielen Dank für eure Antwort!
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> 1.) zwei Matrizen A,B heißen ähnlich, wenn B = T A [mm]T^{-1}[/mm]
Nein! Zwei Matrizen [mm]A,B\in K^{n\times n}[/mm] heißen ähnlich [mm]:\gdw[/mm] Es gibt eine invertierbare Matrix [mm]T\in K^{n\times n}[/mm] mit der Eigenschaft [mm]B=TAT^{-1}[/mm]
Aquivalent dazu ist folgende Definition
Zwei Matrizen [mm]A,B\in K^{n\times n}[/mm] heißen ähnlich [mm]:\gdw[/mm] Es gibt eine invertierbare Matrix [mm]S\in K^{n\times n}[/mm] mit der Eigenschaft [mm]B=S^{-1}AS[/mm]
Von daher ist es in diesem Sinne egal. Musst halt nur bei deiner Rechnung (beim Diagonalisieren) aufpassen.
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> 2.) eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn D = T* A T =
> [mm]T^{-1}[/mm] A T gilt, d.h. es existiert eine Diagonalmatrix D
> die ähnlich ist zu A.
>
> (wobei mit T* die unitäre Matrix von T gemeint ist, was
> bedeutet dass T* = [mm]T^{-1}[/mm]
> Meine Frage ist nun, wo das [mm]T^{-1}[/mm] stehen muss?!
> Offensichtlich ist das [mm]T^{-1}[/mm] genau einmal vor der Matrix A
> und einmal hinter der Matrix (in der Reihenfolge der
> Multiplikation).
>
> Ich weiß, dass gilt (A * B) * C = A * (B * C) ... das
> heißt nur, dass es egal ist, wo ich anfange zu
> multiplizieren, aber nicht ob ich [mm]T^{-1}[/mm] von rechts oder
> von links an multipliziere. Allgemeine Kommutativität gilt
> bekanntlicherweiße nicht!
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> Vielen Dank für eure Antwort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Do 23.02.2012 | | Autor: | sinalco |
Danke!
Gilt denn allgemein?
[mm] A=S^{-1}A'S [/mm] <=> [mm] A'=SAS^{-1}
[/mm]
oder wie formt man das Ganze denn um?
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> Danke!
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> Gilt denn allgemein?
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> [mm]A=S^{-1}A'S[/mm] <=> [mm]A'=SAS^{-1}[/mm]
Ja für invertierbare Matrizen $S$.
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> oder wie formt man das Ganze denn um?
Multipliziere doch [mm]A=S^{-1}A'S[/mm] von links mit $S$ und von rechts mit [mm] $S^{-1}$.
[/mm]
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