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| Aufgabe | Es sei G := {A [mm] \in \IR^{n,n} [/mm] | |det(A)| = 1} Zeigen Sie, dass G bzgl. der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist, d. h. für A,B [mm] \in [/mm] G gilt auch A*B [mm] \in [/mm] G.
Bildet (G,*) eine Gruppe? |
Hallo,
Ich verstehe was bei der Aufgabe verlangt ist, aber mir fehlt hier komplett der Ansatz. Ich soll hier doch zeigen, dass wenn ich 2 nxn Matrizen die beide die Determinante 1 oder -1 haben, und ich sie miteinander multipliziere, wieder eine Matrix mit einer Determinante = 1 oder -1 herauskommt.
Nur wie zeige ich das allgemein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mi 29.12.2010 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> Es sei G := {A [mm]\in \IR^{n,n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| |det(A)| = 1} Zeigen Sie,
> dass G bzgl. der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist,
> d. h. für A,B [mm]\in[/mm] G gilt auch A*B [mm]\in[/mm] G.
> Bildet (G,*) eine Gruppe?
> Hallo,
>
> Ich verstehe was bei der Aufgabe verlangt ist, aber mir
> fehlt hier komplett der Ansatz. Ich soll hier doch zeigen,
> dass wenn ich 2 nxn Matrizen die beide die Determinante 1
> oder -1 haben, und ich sie miteinander multipliziere,
> wieder eine Matrix mit einer Determinante = 1 oder -1
> herauskommt.
>
> Nur wie zeige ich das allgemein?
Du kennst doch sicher den Satz, dass [mm] $\det(A [/mm] B) = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot \det [/mm] B$ ist?
LG Felix
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Hi,
danke für deine Antwort.
Ja stimmt, den Satz hab ich schonmal gesehen.
Mit diesem Satz sieht man dann natürlich auch das G bzgl. der Multiplikation abgeschlossen ist.
Ich vermute aber, dass ich den Satz jetzt beweisen soll....ohje....da fehlt mir halt wieder jeglicher Ansatz...
Zum 2ten Teil der Frage, ob (G,*) eine Gruppe ist:
Es ist eine Gruppe, da dass Assoziativgesetz gilt, also (A*B)*C = A*(B*C)
und es existiert ein neutrales Element, nämlich die Einheitsmatrix.
Und da alle Matrizen der Gruppe für die Det. = 1 bzw. -1 haben ist auch der Rang der Matrizen gleich n und somit sind diese invertierbar, es existiert also zu jeder Matrix eine inverse Matrix. Und da gilt [mm] det(A^{-1}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)} [/mm] sind die inversen Matrizen ebenfalls in der Gruppe.
Ist das korrekt?
lg, nitro
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Hallo nitro,
> Hi,
>
> danke für deine Antwort.
> Ja stimmt, den Satz hab ich schonmal gesehen.
> Mit diesem Satz sieht man dann natürlich auch das G bzgl.
> der Multiplikation abgeschlossen ist.
> Ich vermute aber, dass ich den Satz jetzt beweisen
> soll....ohje....da fehlt mir halt wieder jeglicher
> Ansatz...
>
> Zum 2ten Teil der Frage, ob (G,*) eine Gruppe ist:
> Es ist eine Gruppe, da dass Assoziativgesetz gilt, also
> (A*B)*C = A*(B*C) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und es existiert ein neutrales Element, nämlich die
> Einheitsmatrix.
> Und da alle Matrizen der Gruppe für die Det. = 1 bzw. -1
> haben ist auch der Rang der Matrizen gleich n und somit
> sind diese invertierbar, es existiert also zu jeder Matrix
> eine inverse Matrix. Und da gilt [mm]det(A^{-1})[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{det(A)}[/mm] sind die inversen Matrizen ebenfalls in
> der Gruppe.
Ja, genauer gilt für [mm]A\in G[/mm]: [mm]A^{-1}[/mm] existiert und es ist:
[mm]\left|\operatorname{det}\left(A^{-1}\right)\right|=\left|\frac{1}{\operatorname{det}(A)}\right|=\frac{1}{|\operatorname{det}(A)|}=\frac{1}{1}=1[/mm], also [mm] $A^{-1}\in [/mm] G$
>
> Ist das korrekt?
Jo, passt, noch "schön" aufschreiben und du hast es ...
>
> lg, nitro
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Mi 29.12.2010 | | Autor: | hubar81 |
Hallo nitromath,
die Determinate ist Multiplitativ, d.h für $A, [mm] B\in \IR^{nxn}$ [/mm] gilt:
$det (A*B)= det (A) *det (B)$
Damit solltest du die Lösung schnell finden:)
Sorry hab die Antwort gar nicht geshen. Mit $ det [mm] A\not=0$ [/mm] folgt die Invertierbarkeit.
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