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| Aufgabe | | Seien K ein Körper und [mm]A \in K^n ^\times ^n[/mm] mit der Eighenschaft, dass gilt AB=BA für alle Matrizen [mm]B \in K^n ^\times ^n[/mm]. Zeigen Sie, dass es dann ein [mm]\lambda \in K[/mm] mit [mm]A= \lambda E_n[/mm] gibt, wobei [mm]E_n[/mm] die Einheitsmatrix ist |
Hallo liebe Mathegemeinde,
ich habe einfach keine Idee, was mir diese Aufgabe sagen soll. Geschweige denn, wie ich an diese herangehen muss.
Bitte helft mir.
Gruß
Christoph
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> Seien K ein Körper und [mm]A \in K^n ^\times ^n[/mm] mit der
> Eighenschaft, dass gilt AB=BA für alle Matrizen [mm]B \in K^n ^\times ^n[/mm].
> Zeigen Sie, dass es dann ein [mm]\lambda \in K[/mm] mit [mm]A= \lambda E_n[/mm]
> gibt, wobei [mm]E_n[/mm] die Einheitsmatrix ist
> Hallo liebe Mathegemeinde,
>
> ich habe einfach keine Idee, was mir diese Aufgabe sagen
> soll.
Hallo,
Du hast sie aber ungestört sprechen lassen und gut zugehört?
Es geht um quadratische Matrizen und die Multiplikation, welche i.a. ja nicht kommutativ ist.
Die Aufgabe teilt mit: wenn Du eine feste Matrix A hast, die Du mit jeder anderen Matrix vertauschen kannst, bei der die Reihenfolge der Multiplikation also egal ist,
so kann es nicht anders sein, als daß die Matrix A ein Vielfaches der Einheitsmatrix ist.
> Geschweige denn, wie ich an diese herangehen muss.
Vielleicht untersuchst Du die Angelegenheit erstmal für [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen.
Tip:
Wenn die Matrix A mit jeder Matrix zu vertauschen ist, ist sie auch mit ausgewählten "einfachen" Matrizen zu vertauschen.
Gruß v. Angela
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> > Seien K ein Körper und [mm]A \in K^n ^\times ^n[/mm] mit der
> > Eighenschaft, dass gilt AB=BA für alle Matrizen [mm]B \in K^n ^\times ^n[/mm].
> > Zeigen Sie, dass es dann ein [mm]\lambda \in K[/mm] mit [mm]A= \lambda E_n[/mm]
> > gibt, wobei [mm]E_n[/mm] die Einheitsmatrix ist
> > Hallo liebe Mathegemeinde,
> >
> > ich habe einfach keine Idee, was mir diese Aufgabe sagen
> > soll.
>
> Hallo,
>
> Du hast sie aber ungestört sprechen lassen und gut
> zugehört?
Was soll denn diese Gehässigkeit von dir? :(
> Es geht um quadratische Matrizen und die Multiplikation,
> welche i.a. ja nicht kommutativ ist.
>
> Die Aufgabe teilt mit: wenn Du eine feste Matrix A hast,
> die Du mit jeder anderen Matrix vertauschen kannst, bei der
> die Reihenfolge der Multiplikation also egal ist,
> so kann es nicht anders sein, als daß die Matrix A ein
> Vielfaches der Einheitsmatrix ist.
>
>
> > Geschweige denn, wie ich an diese herangehen muss.
>
> Vielleicht untersuchst Du die Angelegenheit erstmal für
> [mm]2\times[/mm] 2-Matrizen.
>
> Tip:
> Wenn die Matrix A mit jeder Matrix zu vertauschen ist, ist
> sie auch mit ausgewählten "einfachen" Matrizen zu
> vertauschen.
>
> Gruß v. Angela
>
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Hallo,
also ich habe aus Berechnungen herausgefunden, dass die Einträge auf der Diagonalen alle gleich sind, wenn AB=BA. Ich nehme an, dass das wohl das geforderte Lambda ist. Aber wie begründe ich denn die Nullen über und unter der Diagonalen?
Gruß
Christoph
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> Hallo,
>
> also ich habe aus Berechnungen herausgefunden, dass die
> Einträge auf der Diagonalen alle gleich sind, wenn AB=BA.
Hallo,
auf welchem Wege hast Du das denn gefunden?
Wenn wir das wissen, können wir es vielleicht sinnvoll erweitern, so daß sich die Nullen ergeben.
> Ich nehme an, dass das wohl das geforderte Lambda ist.
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:42 Di 11.01.2011 | | Autor: | mathestuden |
Hallo Angela,
ich habe die Produkte AB und BA berechnet und gleichgesetzt. Dabei werden alle Werte gleich.
Wie meinst du das denn mit dem Erweitern? Ich habe nämlich keine Brüche.
Gruß
Christoph
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> Hallo Angela,
>
> ich habe die Produkte AB und BA berechnet und
> gleichgesetzt. Dabei werden alle Werte gleich.
Hallo,
ich kann mir im Moment nicht richtig vorstellen, was Du wie getan hast.
Kannst Du das mal vormachen?
>
> Wie meinst du das denn mit dem Erweitern? Ich habe nämlich
> keine Brüche.
Oh nein! Ich meinte nicht das Erweitern von Bruchen, sondern daß man eine Idee möglicherweise erweitern/verfeinern kann.
Gruß v. Angela
>
> Gruß
>
> Christoph
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Also ich habe mir [mm]2 \times 2[/mm] Matrizen betrachtet mit.
[mm]A=\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm]
und
[mm]B=\begin{pmatrix}
e & f \\
g & h
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]AB=\begin{pmatrix}
ae+cf & be+df \\
ag+ch & bg+dh
\end{pmatrix}[/mm]
[mm]BA=\begin{pmatrix}
ea+gb & fa+hb\\
ec+gd & fc+hd
\end{pmatrix}[/mm]
Jetzt habe ich die Matrizen mit den Komponenten gleichgesetzt.
1.
ae+cf=ea+gb [mm]\gdw[/mm] cf=gb
2.
be+df=fa+hb
3.
ag+ch=ec+gd
4. bg+dh=fc+hb [mm]\gdw[/mm]bg=fc[mm]\gdw[/mm]1.=4.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Di 11.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
nimm doch mal als Matrix B eine 2x2 Matrix die nur an einer Stelle eine 1 und sonst nur aus Nullen besteht. Bei 2x2 Matrizen hast Du davon 4 verchiedene und diese vier verschiedenen Matrizen multiplizierst Du mit A. Für jede dieser Matrizen B gilt, AB=BA, was folgt dann für die einzelnen Element von A?
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Danke für deinen Beitrag. Ist, denn damit alles gezeigt? Schließlich wären B 4 konkrete Matrizen.
Gruß
Christoph
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> Danke für deinen Beitrag. Ist, denn damit alles gezeigt?
> Schließlich wären B 4 konkrete Matrizen.
Hallo,
der Gedanke ist dieser:
N.V. ist die Matrix A mit allen Matrizen vertauschbar.
Wenn sie mit allen Matrizen vertauschbar ist, dann ist sie insbesondere mit diesen 4 Matrizen vertauschbar.
Dies verarbeitend erhältst Du, daß die Matrix A eine gewisse Gestalt haben muß.
Gezeigt hast Du damit dann:
A mit allen vertauschbar ==> A hat diese Gestalt
Zeigen mußt Du noch die umgekehrte Richtung, aber das ist ja Pippifax.
Nur um Mißverstandnissen vorzubeugen:
es reicht natürlich nicht, den Beweis für [mm] 2\times [/mm] 2-Matrizen zu führen. Das ist eine Vorübung - trotzdem ist es kein Fehler, das ganze als weitere Vorübung z.B. mal für n=5 durchzuführen.
Hierbei ist die Def. der Matrixmutliplikation nützlich:
[mm] A*B=(c_i_k) [/mm] mit [mm] c_i_k=\summe_{j=1}^na_i_jb_j_k.
[/mm]
[mm] B*A=(d_i_k) [/mm] mit [mm] d_i_k= [/mm] ...
Gruß v. Angela
>
> Gruß
>
> Christoph
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Danke Angela ich hab es raus und Danke an alle anderen.
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