Matrizennormen bzgl. Def. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sind folgende 2 Matrizennormen auch nach Def. , wobei der [mm] \IR^n [/mm] mit einer festen Norm versehen ist?
[mm] ||T||_F [/mm] := ( [mm] \summe_{i,j=1}^{n} T_{ij}^2 )^{1/2} [/mm]
[mm] ||T||_m [/mm] := [mm] max_{1 \le i,j \le n} |T_{ij}| [/mm]
Def:
Es seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] normierte Räume. Wir definieren [mm] L(X_1,X_2) [/mm] := { T: [mm] X_1 \to X_2 [/mm] | T linear und beschränkt }
Die Zahl
||T|| := [mm] sup_{x \in X_1 ohne 0} \bruch{||Tx||_{X_2}}{||x||_{X_1}} [/mm]
heißt (Operator-) Norm von T. Ist T eine Matrix so heißt ||T|| Matrixnorm. bezüglich [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] |
Huhu zusammen,
im Aufgabenteil a) hab ich gezeigt, dass die beiden auf normaler Def. Normen sind mit D.U. , Hom. und Definitheit.
Was muss ich hier nun zeigen bzw widerlegen? Das T als Abbildung linear und beschränkt ist?
Lg,
Eve ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:36 Sa 17.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Was a) betrifft sehe ich das so:
Es ist [mm] X_1=X_2= \IR^n
[/mm]
Nehmen wir uns mal $ [mm] ||T||_F [/mm] $ := ( $ [mm] \summe_{i,j=1}^{n} T_{ij}^2 )^{1/2} [/mm] $ vor.
Du sollst entscheiden ob es Normen [mm] ||*||_1 [/mm] und [mm] ||*||_2 [/mm] auf [mm] X_1 [/mm] bzw. [mm] X_2 [/mm] gibt, so dass [mm] ||*||_F [/mm] eine Matrixnorm bzgl. der Normen auf [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] ist.
Bei [mm] |T||_m [/mm] genauso
FRED
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