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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Di 11.04.2006 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | Es seien A= [mm] \pmat{ cos x & -sin x \\ sin x & cos x }, \lambda_{1}=cos [/mm] x+i*sin x und [mm] \lambda_{2}=cos [/mm] x-i*sin x. Lösen Sie das folgende homogene lineare Gleichungssystem
(A- [mm] \lambda_{j}*E)*\vektor{z1 \\ z2}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] über dem Körper der komplexen Zahlen für j [mm] \in \{1,2\}. [/mm] (E ist die 2 [mm] \times [/mm] 2-Einheitsmatrix) |
Hallöchen alle zusammen!
Bin an die Aufgabe folgendermaßen rangegangen:
für
[mm] \lambda_{1}: [\pmat{ cos x & -sin x \\ sin x & cos x }-(cos [/mm] x+i*sin x [mm] )*\pmat{ 1 x & 0 \\ 0 & 1 }]*\vektor{z1 \\ z2}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
und hab das so erstmal zusammengefasst:
[mm] =\pmat{ -sin x*i & -sin x \\ sin x & -sin x*i }*\vektor{z1 \\ z2}
[/mm]
für
[mm] \lambda_{2}: [\pmat{ cos x & -sin x \\ sin x & cos x }-(cos [/mm] x-i*sin x [mm] )*\pmat{ 1 x & 0 \\ 0 & 1 }]*\vektor{z1 \\ z2}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
und hab das dann so zusammengefasst:
[mm] =\pmat{ sin x*i & -sin x \\ sin x & sin x*i }*\vektor{z1 \\ z2}
[/mm]
tja, und hier weiß ich jetzt nicht genau weiter. Hab jetzt Folgendes versucht (durch Matrizenmultiplikation):
[mm] \vektor{-sin x *i*z1-sin x*z2 \\ sin x*z1-sin x*i*z2}=\vektor{0 \\ 0}=\vektor{sin x *i*z1-sin x*z2 \\ sin x*z1+sin x*i*z2} [/mm] und nun würde ich ja denken, das geht nur für [mm] \vektor{z1 \\ z2}=\vektor{0 \\ 0}. [/mm] Aber wenn ich von den aufbauenden Aufgabenstellungen ausgehe, kommen mindestens zwei Ergebnisse raus. Wie kann ich das weiter rechnen?
liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Di 11.04.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Franzie,
bitte keine Doppelpostings hier im Forum.
Ich habe deinen anderen Artikel mit der gleichen Fragestellung gelöscht.
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 11.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
Es scheint, du suchst reelle Lösungen! Z1=i und z2=1 z. Bsp löst doch deine Gleichung!
Warum löst du sie nicht, wie en "normales" homogenes Gleichungssystem?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 11.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Schönen Dank erstmal. Hab jetzt für die erste Gleichung z1=i, z2=1 wie du es gesagt hast und für die zweite Gleichung z1=i und z2=-1.
Ich muss jetzt mit den Lösungen noch ein bisschen was berechnen.
Es wird für jeden Lösungsraum [mm] Lös(A-\lambda_{j}*E),\vektor{0 \\ 0}) [/mm] (j [mm] \in \{1,2\}) [/mm] eine Basis gefordert.
Wie kann ich jetzt passend zu meinen Ergebnissen eine solche finden? Kann ich dafür eventuell schon meine beiden Lösungsvektoren verwenden?
liebe Grüße und danke nochmal für den Anstoß eben, hat echt geholfen 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mi 12.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
Ich hab dir doch nur eine Lösung geschrieben! Die 2 Gl sind doch lin abhängig! Du kriegst als viele Lösungen! Such erst mal die allg. Lösungsmenge! Was ist wenn z1=a+i*b?
Dann erst geh an den 2. Teil!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Ich weiß nicht, irgendwie steh ich hier bei so ner einfachen Sache total auf dem Schlauch. Egal, wie ich umforme, ich komme bei beiden Gleichungen immer auf 0=0 und das würde ja heißen, z1 und z2 können jeden Wert annehmen. Was mach ich denn nur falsch? Hab ja meine Umformungen bereits gepostet und jetzt auch nochmal die beiden Gleichungen einzeln betrachtet, aber ich komme immer wieder auf das gleiche Resultat.
Bitte korrigiert mich einmal.
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Mi 12.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
Dein 0=0 bedeutet doch nur dass die erste und die zweite Gl. von dem gleichrn paar z1,z2 erfüllt werden! nicht, dass die 0 sind z1=z2=0 ist die triviale Lösung jedes homogenen Gleichungssystems!
Mach dirs mal reell klar :
3x+4y=0
6x+8y=0
kannst du davon Lösungen angeben?
Du hast ein System aus 2 Gl. mit 2 Unbekannten.
Die erste und die 2. Gl. sind proportional. dh. erste mit -i multipliziert, zur 2. addiert ergibt 0. Bleibt aber die erst über!
Dort kannst du jetzt ein beliebiges z1 einsetzen, daraus folgt dann das zugehörige z2!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Mi 12.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Ja, im reellen Bereich ist das klar. Wenn ich mir das bildlich vorstellen würde, würden alle Punkte der Lösungsmenge auf einer Geraden liegen.
Also bekomm ich ja bezogen auf meine Matrizen einen ganzen Lösungsraum raus. Da sich die zweite aus der ersten Matrix ergibt, kann ich doch allgemein die Lösung als Vielfaches der ersten angeben.
Kann ich da jetzt einfach meine Matrix für das [mm] \lambda [/mm] (1) nehmen und sagen, dass das [mm] \lambda [/mm] -fache dieser Matrix ebenfalls Lösung des LGS ist?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 12.04.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Franzie
> Ja, im reellen Bereich ist das klar. Wenn ich mir das
> bildlich vorstellen würde, würden alle Punkte der
> Lösungsmenge auf einer Geraden liegen.
> Also bekomm ich ja bezogen auf meine Matrizen einen ganzen
> Lösungsraum raus. Da sich die zweite aus der ersten Matrix
> ergibt, kann ich doch allgemein die Lösung als Vielfaches
> der ersten angeben.
Wieso ergibt sich die zweite aus der ersten? was meinst du damit? Versteh ich nicht!
> Kann ich da jetzt einfach meine Matrix für das [mm]\lambda[/mm] (1)
> nehmen und sagen, dass das [mm]\lambda[/mm] -fache dieser Matrix
> ebenfalls Lösung des LGS ist?
Die Lösung kann doch keine Matrix sein, oder was meinst du damit?
Schreib mal den allgemeinen Lösungsvektor auf, den du rausgekriegt hast.
In meinem reellen Bsp. wär das :
r* [mm] \vektor{4 \\ -3} [/mm] oder r [mm] *\vektor{1\\ -3/4} [/mm] oder r [mm] \vektor{-1 \\ 3/4} [/mm] mit r reell!
Gruss leduart
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