Mauern - gefärbte Steine < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Statt Steine mit Zahlen werden jetzt nur schwarze und weiße Steine zu einer Mauer zusammen gefügt.
Auf zwei benachbarten, gleichfarbigen Steinen liegt ein weißer,
auf verschiedenfarbige Steine kommt ein schwarzer Stein.
Wie viele gibt es mit 3, 4 bzw. n Reihen?
Zählen Sie die Anzahl auf zwei verschiedene Weisen ab.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo ihr!
Ich hab mich mal an dieser Aufgabe versucht und erstmal die Mauern aufgemalt.
Ich versuchs mal darzustellen.
|___|ist weißer stein
|xxx| ist schwarzer stein
n=2
|___| |xxx|
|___|___| |___|xxx|
|___| |___|
|xxx|xxx| |___|xxx| 4 Möglichkeiten
n=3
|___| |xxx|
|___|___| |xxx|___|
|___|____|___| |xxx|___|___|
|___| |xxx|
|xxx|xxx| | ___|xxx|
|___|xxx|____| |___|___|xxx|
|xxx| |xxx|
|___|xxx| |xxx|___|
|xxx|xxx|___| |___|xxx|xxx| 6 Möglichkeiten
für n=4 wären es nach meiner Malerei 8 Möglichkeiten.
Jetzt zu meinem Problem:
Augenscheinlich gibt es Mauern, die "spiegelverkehrt" sind - zähle ich die mit? Dann käme nämlich was "schönes" von 2n Möglichkeiten raus!
Zähle ich sie allerdings nicht mit, so bekomme ich etwas merkwürdiges raus, denn immer nur so viele Mauern, wie ich Reihen habe. Also 2n-n Möglichkeiten
Es kann natürlich sein, dass dieses "merkwürdige" das Ergebis ist, aber ich hab meine Probleme mit kombinatorischen Aufgabe, da ich zu kompliziert denke und es auch nie in der Schule hatte.
In der Vorlesung hatten wir bisher "Systematisches Mehrfachzählen" und "Rekursives Zählen", falls das jemandem was sagt. Mit den Formeln haben wir heute erst angefangen und ich hab im Moment noch gar keine Ahnung ob und wie man diese auf das genannte Problem anwenden könnte.
Vollständige Induktion hatten wir auch...
Jedenfalls schonmal vielen Dank für eure Hilfe!
LG
pepperchen
P.S. leider hat das mit der Darstellung hier nicht funktioniert, aber ich hab das mal als Bild bei imagehack hochgeladen:
http://img370.imageshack.us/img370/4408/mauernyn6.th.jpg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hey also deine Vermutung trifft wohl leider nicht zu, da du bereits bei n=3 folgende Varianten vergessen hast:
|___| |___|
|xxx|xxx| |___|___|
|xxx|___xxx| und |xxx|xxx|xxx|
Das macht dann für n=3
8 Lösungen
oder [mm] 2^{3}
[/mm]
Ich habs auch ausprobiert für n=4
Da ergibt sich 16 Lösungen
oder [mm] 2^{4}
[/mm]
Demnach lässt sich folgendes Vermuten:
Die Lösung für n Reihen ist [mm] 2^{n}
[/mm]
Wie das genau zu beweisen ist, weiss ich nciht genau....
wünsch dir viel Erfolg
Gruß
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