Max-Likelihood Binomialverteil < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Schätzen Sie unter Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode den Parameter p (0>p>1) einer Binomialverteilung bei vorgegebenem Parameterwert n aufgrund einer Stichprobe vom Umfang m! |
Zuerstmal sorry an die Mods, habe die Aufgabe aus Versehen in Schulstochastik eingestellt und nicht hierher verschieben können. In der Hoffnung auf eine Antwort habe ich die Frage nochmal hier eingestellt, wo sie eigentlich auch hingehört.
Hallo allerseits,
hänge bei obiger Aufgabe, hauptsächlich ist die Kombination das Problem, bzw. ich nicht weiß wie ich diese sinnvoll auflösen kann.
Ansatz: Parameter n bekannt, Umfang m, [mm] p=\theta
[/mm]
[mm] P(X=k)=\vektor{n \\ k}p^{k}(1-p)^{n-k}
[/mm]
[mm] L(x_{1},...,x_{m};\theta)=\produkt_{i=1}^{n}\vektor{n \\ x}\theta^{x}(1-\theta)^{n-x}
[/mm]
[mm] lnL(x_{1},...,x_{m};\theta)=\sum_{i=1}^{n}ln[\vektor{n \\ x_{i}}\theta^{x_{i}}(1-\theta)^{n-x_{i}}]
[/mm]
[mm] lnL(x_{1},...,x_{m};\theta)=\sum_{i=1}^{n}[ln\vektor{n \\ x_{i}}+x_{i}ln\theta+(n-x_{i})ln(1-\theta)]
[/mm]
Tja, und nun hänge ich fest. Normalerweise würde ich jetzt die Klammer mit dem Logarithmus auflösen, aber ich weiß nich wie ich [mm] \vektor{n \\ x_{i}}\theta^{x_{i}} [/mm] zerlege.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:49 Mo 25.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin Daniel,
mach mal weiter mit der letzten Gleichung. Das wird!
vg Luis
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Hallo Luis, mal wieder  ,
hab schon mal weiter versucht.
[mm] \bruch{\partial(lnL)}{\partial\theta}=\bruch{\summe_{i=1}^{n}x_{i}}{\theta}-\bruch{\summe_{i=1}^{n}(n-x_{i})}{1-\theta}
[/mm]
Tja, und dann? Weiß im Moment nicht wie ich das zerlegen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Mo 25.01.2010 | | Autor: | luis52 |
Hallo Daniel,
musste doch noch etwas feilen:
$ [mm] L(x_{1},...,x_{m};\theta)=\produkt_{i=1}^{\red m}\vektor{n \\ x}\theta^{x}(1-\theta)^{n-x} [/mm] $
$ [mm] \ln L(x_{1},...,x_{m};\theta)=\sum_{i=1}^{\red m}\ln[\vektor{n \\ x_{i}}\theta^{x_{i}}(1-\theta)^{n-x_{i}}] [/mm] $
$ [mm] \ln L(x_{1},...,x_{m};\theta)=\sum_{i=1}^{\red m}[\ln\vektor{n \\ x_{i}}+x_{i}\ln\theta+(n-x_{i})\ln(1-\theta)] [/mm] $
[mm] $\bruch{\partial(\ln L)}{\partial\theta}=\bruch{\summe_{i=1}^{\red m}x_{i}}{\theta}-\bruch{\summe_{i=1}^{\red m}(n-x_{i})}{1-\theta} [/mm] $
Das Maximum findest du indem du die [mm] $\bruch{\partial(\ln L)}{\partial\theta}=0$ [/mm] nach [mm] $\theta$ [/mm] aufloest. (Ein Knaller waere es, wenn du noch die hinreichende Bedingung [mm] $\bruch{\partial^2(\ln L)}{\partial\theta^2}<0$ [/mm] zeigst. )
vg Luis
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So, dann bastle ich mal ein wenig. Bin mir noch unklar wie ich die [mm] \summe_{i=1}^{m}(n-x_{i}) [/mm] verarbeite, aber ich versuch es mal.
[mm] \bruch{\summe_{i=1}^{m}}{\theta}=\bruch{\summe_{i=1}^{m}(n-x_{i})}{1-\theta}
[/mm]
Nach [mm] \theta [/mm] aufgelöst [mm] \theta=\bruch{\summe_{i=1}^{m}x_{i}}{ \summe_{i=1}^{m}n}
[/mm]
Die Summe im Zähler wird zu [mm] \bar{x}. [/mm] Was wird aus dem Nenner, n?
Dann würde die 2te Ableitung [mm] \bruch{\partial^{2}(lnL)}{\partial\theta^{2}}=-\bruch{\summe_{i=1}^{m}}{\theta^{2}}-\bruch{\summe_{i=1}^{m}(n-x_{i})^{2}}{(1-\theta)^{2}}
[/mm]
???
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
