Max.-Likeli.-Schätz. bestimmen < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 Di 25.12.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Seien [mm] (X_i)_i\in \IN [/mm] unabhängig und identisch verteilt mit Dichte:
[mm] f_\nu(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<\nu \\ e^-^(^x^-^\nu^), & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Bestimme den MaximumLikelihood-Schätzer für [mm] \nu.
[/mm]
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Hallo,
erstmal an alle die diesen Thread lesen ein frohes Weihnachtsfest.
Jetzt aber leider zu meinem Problem mit dieser Aufgabe.
Ich weiß wie man den MLS bestimmt, erst Likelihood-Funktion aufstellen, dann log dieser Funktion, dann die ableitung nach [mm] \nu [/mm] gleich null setzten und auflösen.
Aber wie mache ich das hier??
Habe ja erstmal keine Stichprobe [mm] (x_1,...,x_n) [/mm] sondern eine folge von Zufallsvariablen.
Desweiteren weiß ich bzgl der Likelihoodfunktion nicht, wie ich die Dichtefunktion zu behandeln habe...
Hoffe ihr könnt mir helfen!
Liebe Grüße und noch schöne Festtage, kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Di 25.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Seien [mm](X_i)_i\in \IN[/mm] unabhängig und identisch verteilt mit
> Dichte:
> [mm]f_\nu(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x<\nu \\ e^{-(x-\nu)}, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Bestimme den MaximumLikelihood-Schätzer für [mm]\nu.[/mm]
>
> Hallo,
>
> erstmal an alle die diesen Thread lesen ein frohes
> Weihnachtsfest.
Danke, gleichfalls =)
> Habe ja erstmal keine Stichprobe [mm](x_1,...,x_n)[/mm] sondern
> eine folge von Zufallsvariablen.
Es wird immer impliziert, daß Du das ganze für eine Stichprobe betrachten sollst. Wie willst Du einen Parameter schätzen, wenn Du keine Daten zum Schätzen hast?
Die Stichprobe ist eine Ausprägung einer Folge von Zufallsvariablen mit einer bestimmten Verteilung (die man aufgrund irgendwelcher Überlegungen ausgewählt hat), und die Parameter dieser Verteilung willst Du nun so schätzen, daß die Stichprobe möglichst gut zu der dann geschätzten Verteilung paßt.
> Desweiteren weiß ich bzgl der Likelihoodfunktion nicht,
> wie ich die Dichtefunktion zu behandeln habe...
Wie habt Ihr dann die Likelihoodfunktion definiert? Ist doch nur das Produkt über die Dichte an den [mm] $x_i$.
[/mm]
Der Witz der Aufgabe oben ist, daß Du eine Exponentialverteilung hast, die aber um [mm] $\nu$ [/mm] verschoben ist. D.h. [mm] $f_\nu (x):=\textbf{1}_{[\nu,\infty)}(x)* e^{-(x-\nu)}$ [/mm] - hier hab ich die beiden Möglichkeiten durch die Indikatorfunktion dargestellt. L ist dann:
[mm] $L(x_1,\dots,x_n;\nu)=\produkt_{i=1}^n f_\nu(x_i)$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Di 25.12.2007 | | Autor: | kittie |
alles klar, vielen Dank, hat mir schon sehr weitergeholfen!
Habe das Produkt berechnet wobei ich nun ohne Einschränkung davon ausgegangen bin, dass [mm] x_i \ge \nu \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] {1,...,n}, weil ja andernfalls das Produkt 0 wird. (stimmt das so, oder muss ich diesen Fall noch gesondert betrachten?)
ich erhalte dann: [mm] ...=e^{n\nu-n\overline{x}} [/mm] mit [mm] \overline{x}=\bruch{x_1+...+x_n}{n}
[/mm]
wenn ich jetzt den log der Funktion betrachte und dann nach [mm] \nu [/mm] ableite und erhaltenes gleich 0 setzte erhalte ich jedoch:
[mm] ln(e^{n\nu-n\overline{x}})=n\nu-n\overline{x} ln(e)=n\nu-n\overline{x}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial L}{\partial \nu}=n [/mm] =0
aber das gibt doch irgendwie keinen Sinn...oder??
bräuchte nochmal ne kleine hilfe!
liebe Grüße, kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Di 25.12.2007 | | Autor: | Blech |
> alles klar, vielen Dank, hat mir schon sehr
> weitergeholfen!
>
> Habe das Produkt berechnet wobei ich nun ohne Einschränkung
> davon ausgegangen bin, dass [mm]x_i \ge \nu \forall[/mm] i [mm]\in[/mm]
> {1,...,n}, weil ja andernfalls das Produkt 0 wird. (stimmt
> das so, oder muss ich diesen Fall noch gesondert
> betrachten?)
Du solltest ihn erwähnen, und vor allem im Hinterkopf behalten. =)
> wenn ich jetzt den log der Funktion betrachte und dann nach
> [mm]\nu[/mm] ableite und erhaltenes gleich 0 setzte erhalte ich
> jedoch:
>
> [mm]ln(e^{n\nu-n\overline{x}})=n\nu-n\overline{x} ln(e)=n\nu-n\overline{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial \nu}=n[/mm] =0
>
> aber das gibt doch irgendwie keinen Sinn...oder??
Natürlich ergibt es Sinn. =)
Die Funktion hat halt kein Maximum, sondern ist streng monoton steigend.
Nur ist das, was Du betrachtest nicht die eigentliche loglikelihood-Funktion. Die hast Du ja oben auf [mm] $\nu\in(-\infty,min\{x_i;\ \forall i\}]$ [/mm] eingeschränkt.
D.h. die Likelihood-Funktion wird maximal für [mm] $\nu=min\{x_i;\ \forall i\}$.
[/mm]
Hier brauchst Du übrigens nichtmal loglikelihood, weil die Likelihood-Funktion selber so schön ist:
[mm] $L(x;\nu)=e^{n\nu-n\overline{x}}\produkt_{i=1}^n\textbf{1}_{[\nu,\infty)}(x_i)=e^{n\nu-n\overline{x}}\textbf{1}_{(-\infty,min\{x_i;\ \forall i\}]}(\nu)$
[/mm]
[mm] $e^{n\nu-n\overline{x}}$ [/mm] ist offensichtlich streng monoton steigend und >0, d.h. das Maximum wird am rechten Rand des Definitionsbereichs angenommen, da das Intervall nach rechts abgeschlossen ist.
Versuch, Dir nicht den Mechanismus vom Verfahren zu merken (Likelihood aufstellen, log nehmen, ableiten, gleich 0 setzen), sondern den Sinn (wir suchen ein Maximum der Likelihoodfunktion, deswegen nehmen wir den Logarithmus, damit wir das Produkt loswerden, deswegen leiten wir ab und setzen gleich 0).
Ich weiß, das sagt sich immer so leicht, aber es ist deswegen nicht weniger wahr =P
Frohe Restweihnachten!
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