Max. Flächeninhalt in Parabel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht ist das Rechteck mit dem größtmöglichen Flächeninhalt, das innerhalb der Funktionen [mm] f(x)=-x^2+4 [/mm] sowie f(x)=0 liegt.
Berechne die Seitenlängen des Rechtecks, sowie seinen Flächeninhalt. |
Ich bin mir unsicher, wie die Zielfunktion lauten muss. die Berechnung von A des Parabelstückes ist ja noch recht simpel.
mir fehlt jedoch der geistesblitz (oder was know-how?), um nun eine zielfunktion aufzustellen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Also mir hilft immer eine Skizze.
So wie das aussieht denke ich, dass das eine Seite vom gesuchten Rechteckt irgendwo auf der Geraden g(x)=x liegt.
Eine Ecke des Rechtecks wird im Schnittpunkt oberhalb der x-Achse liegen.
Die Fläche des Rechtecks wird damit von diesem Punkt und einer Gerade t(x)=x+t bestimmt, eine Parallele zur Gerade g um eine Zahl t verschoben. Eine Skizze verdeutlicht was ich meine.
Der Schnittpunkt wird bestimmt durch f(x)=g(x), also [mm] -x^2+4=x \gdw x^2+x-4=0 \Rightarrow x_{1,2}=-\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{1}{2}+4}. [/mm] Den Punkt den ich meine ist an der Stelle [mm] x=-\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{1}{4}+4}.
[/mm]
Du kommst zu deiner Zielfunktion, wenn du dir überlegst, dass t der Abstand zwischen g und t auf der y-Achse ist. Du kommst also z.B. mit dem Pythagoras zur ersten Seitenlänge. Die andere Seitenlänge wird davon bestimmt, wo t f schneidet. Das geht recht schwer zu erklären. Mach dir am bessten mal eine Skizze, und frag dann genauer wo du mir nicht folgen kannst^^.
lg Kai
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| Aufgabe | | erst mal muss ich mich entschuldigen, g(x)=0 , nicht g(x)=x war die aufgabenstellung, was das ganze aber nur peripher verändert (also soweit ich das sehe). |
ich kann nicht ganz folgen, wie der von Ihnen geschilderte Lösungsweg zur maximalen fläche führt.
nicht folgen kann ich in dem moment, in dem sie sagen :" t ist der abstand zwischen g und t".
also wohl leider am dreh und angelpunkt der aufgabe. ich wäre über nähere erläuterungen zu diesem schnitt (am besten bezogen auf die oben genannte korrekte aufgabenstellung (shame on me)) sehr erfreut.
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Hallo, das ist ja eine ganz andere Aufgabe, ich habe dir eine Skizze gemacht
[Dateianhang nicht öffentlich]
die Fläche kannst du berechnen A=a*b, jetzt überlegen wir uns:
Seite a: bezeichnen wir die Stelle, an der der Punkt B liegt mit [mm] x_0, [/mm] somit ergibt sich für die Seite [mm] 2*x_0
[/mm]
Seite b: ergibt sich durch [mm] f(x_0)
[/mm]
[mm] A=a*b=2*x_0*(-x_0^{2}-4)
[/mm]
jetzt kannst du die Extremwertbetrachtung machen, und die Stelle [mm] x_0 [/mm] berechnen,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Aber das Rechteck soll doch nach Aufgabenstellung auch noch von der Geraden g(x)=x begrenzt sein, oder versteh ich da was falsch, und wenn ich jetzt mir in deine Skizze die Winkelhalbierende des ersten Quadranten reindenke, dann hauts nich hin!...
lg Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Do 15.01.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, die Aufgabenstellung wurde doch verändert g(x)=0, die x-Achse, Steffi
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Achso, ja dann nehm ich das zurück. Hab mich eh gewundert das in der 11. Klasse sone Aufgabe drankommt^^
lg Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Do 15.01.2009 | | Autor: | kaffepause |
danek für die verständliche erklärung!
aber ein kleienr fheler hat sich bei dir wohl eingeschlichen.. die richtige lösung müsste sein:
[mm] A=a*b=2x_{0}+(-x_{0}^2+4)
[/mm]
DANKE =)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Do 15.01.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, die Fläche eines Rechteckes wir berechnet, indem man die Seitenlängen multipliziert , Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Do 15.01.2009 | | Autor: | kaffepause |
jetzt bin ich verwirrt.
ich gebe ihnen natürlich sofort recht, wenn sie sagen: a*b=A
aber die ausgangsfunktion, auf die man sich hier bezieht heißt doch:
f(x)= [mm] -x^2[red]+[/red]4
[/mm]
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jetzt bin ich verwirrt.
ich gebe Ihnen natürlich sofort recht, wenn sie sagen: a*b=A
aber die ausgangsfunktion, auf die man sich hier bezieht heißt doch:
f(x)= [mm] -x^2+4
[/mm]
Außerdem ergibt das b meiner meinung nach weder in meiner, noch in Ihrer version einen sinn.
da [mm] x_{0}= [/mm] 1,15, wäre die seitenlänge in beiden versionen
[mm] (b=(-x_{0}^2\pm4)
[/mm]
größer als 4 oder eine negative zahl.
*confused*
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Wenn du allgemein die Fläche eines Rechtecks bestimmen möchtest, dann rechnest du doch [mm]A=a*b[/mm], mit a,b nicht gegenüberliegende Seiten.
Jetzt bestimmen wir mal die eine Seite, z.B. Seite a.
Die ist doch ohne Zweifel der Abstand zwischen dem Graphen von f und der x-Achse, also genau der Funktionswert [mm] f(x_0). [/mm]
Also halten wir fest: [mm] a=f(x_0)=-(x_0^2)-4
[/mm]
Nun suchen wir uns die andere Seite, Seite b.
Die Länge dieser Seite ist doch [mm] x_0 [/mm] mal nach links und [mm] x_0 [/mm] mal nach rechts, also [mm] 2*x_0.
[/mm]
Auch hier halten wir fest: [mm] b=2*x_0
[/mm]
Und jetzt setzen wir unsere Ergebnisse in die Formel für den Flächeninhalt ein.
[mm] \Rightarrow A=a*b=(-(x_0^2)-4)*2*x_0
[/mm]
Du darfst beim Rechnen von Extremwertaufgaben nie die Struktur deiner Zielfunktion vergessen, hier [mm] A=a\red{*}b. [/mm] Die Funktion selbst hilft dir nur beim Ermitteln der Werte!
lg Kai
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langsam zweifel ich an mir.
[mm] A=a\cdot{}b=(-(x_0^2)-4)\cdot{}2\cdot{}x_0 [/mm] $
vereinfach, ableitung bilden.
also:
[mm] A'=-6x^2-8
[/mm]
[mm] 0=-6x^2-8
[/mm]
.
.
.
[mm] 4/3=-x^2
[/mm]
--> mathematisches ende des ganzen, da keine wurzeln durch negative zahlen.
?
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> langsam zweifel ich an mir.
Brauchst du nicht!
Hmm... schauen wir uns mal das Ganze an:
[mm]A(x)=(-x^2-4)*2x=-2x^3-8x[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]A'(x)=0=-6x^2-8[/mm] [mm] \gdw [/mm] ... ja so wird das nix...
Wenn man aber mal ganz scharf hinsieht, und vorallem wieder gaaaaaanz nach oben zur Aufgabenstellung schaut, dann sehen wir, wie schnell aus einer [mm] \red{+4} [/mm] eine [mm] \blue{-4} [/mm] wird...
Die Richtige Formel lautet also:
> [mm]A=a\cdot{}b=(-(x_0^2)+4)\cdot{}2\cdot{}x_0[/mm]
lg Kai
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Do 15.01.2009 | | Autor: | kaffepause |
*zweifel einstell*
ich merke gerade,d as ich die richtige lösung vor ca. 1,5 h schonmal gepostet habe.
ich habe sie nur für falsch befunden, weil cih bei de rüberprüfung x=1,15 in die alte version von a= eingesetzt habe. wo dann dementsprechender müll rauskam..
danke, für die gedanken und die zeit!
jetzt amch cih mri auch nciht mehr soo viele gedanken, ob ich die 13 pkt in mathe verdient haeb.. :D
gute nacht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Do 15.01.2009 | | Autor: | kaffepause |
da bin ich gleich dabei ;)
ich wollte nur erstmal nicht unangenehm auffallen..
ich bin übrigens von den schnellen antworten echt beeindruckt, danke!
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