Max. Volumen (Funktionsschaar) < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Ich bin nun in der 12. Jahrgangstufe und versuche mich am Mathe LK.
In etwa einer Woche schreiben wir eine Klausur und es wird zur Zeit gepaukt - deswegen habe ich einige Fragen zu einer Aufgabe aus meinem Buch:
"Aus einem Stueck Pappe der Laenge 16cm und der Breite a cm werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten und die ueberstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel hochgebogen. Bei welchen Maßen hat die Schachtel maximales Volumen?"
Hier nun meine Loesungsansaetze zu dieser Aufgabe:
Variable b wurde fuer die Hoehe benutzt. Nach meinem Verstaendnis ist also a ein Parameter und b die Variable. Folgende Funktion habe ich nun berechnet:
[mm] \begin{matrix}
V(b)&=& (16 - 2b) * (a - 2b) * b \\
\ & =& (16 - 2b) * (ab - 2b^2)
\end{matrix}
[/mm]
Habe als Ansatz halt a * 16cm * b gewaehlt --> durch b veraendert sich aber selbstverstaendlich a als auch 16cm, deswegen (16 - 2b) fuer die eine Seite, (a - 2b) fuer die andere Seite. Ich hoffe, dass ich das jetzt verstaendlich aufgeschrieben habe.
Meine Frage hierzu: Lieg ich mit meiner Ueberlegung richtig?
Weiter gehts:
Erste Ableitung mittels Produktregel bilden:
[mm] \begin{matrix}
V'(b)&=& -2 * (ab - 2b^2) + (16a - 2b) * (a - 4b) \\
\ & =& -4ab + 12b^2 + 16a - 64b
\end{matrix}
[/mm]
Soweit meine etwas ungeordnete Funktion :). Ich hoffe, dass die Ableitung richtig ist - so schlechts siehts nicht aus.
Weiter gehts mit der Notwendigen Bedingung:
Ableitung wird = 0 gesetzt und ich wende die PQ Formel an:
-4ab + [mm] 12b^2 [/mm] + 16a - 64b = 0 <-- Frage: Darf -4b und -64b zusammengefasst werden? a ist immerhin ein Parameter und laut Lehrerin: "Behandelt die Parameter immer wie Zahlen."
Zusammengefasst sollte es also:
[mm] b^2 - \bruch{17}{3}ab + \bruch{4}{3}a = 0 [/mm]
Darauf die PQ Formel angewandt (den Schritt hab ich jetzt mal nicht aufgeschrieben, da ich denke, dass ich die pq Formel soweit beheersche). Am ende kam fuer b:
b1 [mm]\approx[/mm]=5,42a und b2 [mm]\approx[/mm] 0,246a
Hierzu noch eine Frage: Wie behandelt man beispielsweise diese Rechnung:
2a² - 1a --> a ist ein Parameter, wie verrechne ich diese beiden Parameter miteinander?
Soweit so gut - nur was fange ich jetzt mit dem Ergebnis an? Was bedeutet es? Ich habe bisher nur hierher gerechnet und weiß, dass da nach noch die Ueberpruefung obs Maximum oder Minim ist folgt - das habe ich mir aber erstmal erspart, da ich mir echt total unsicher bin bei meiner Aufgabe.
Ich hoffe jemand kann mir meine Fragen erklaeren - die Forenregeln hab ich gelesen, falls ich irgendwelche Regeln missachtet habe oder meine Fragen als "unhoeflich" o.Ä. angesehen werden, so bitte ich dies zu entschuldigen - ich frage nicht mit der Absicht irgendjemanden zu veraergern. Verzeiht meine vielleicht dummen Fragen, aber ich bin mir teilweise sehr unsicher bei gewissen Sachen.
Ich bedanke mich schonmal im vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MFG Tim
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:16 Sa 17.09.2005 | | Autor: | Mato |
Hi,
Das Volumen hängt ja vom Flächeninhalt A ab. Je größer A ist, desto größer ist auch V, deshalb rechne lieber mit A, es ist viel einfacher.
Die neue Länge nennen wir q und die neue Breite w.
q=(16-2b) und w=(a-2b)
[mm] A(b)=q*w=(16-2b)(a-2b)=-4b^2-2ab-32b
[/mm]
Die Ableitung ist dann: A'(b)=-8b-2a-32, nach b aufgelöst: b=-0,25a-4
Nun muss A''(b)<0, damit du ein Maximum hast. Die 2. Ableitung ergibt:
A''(b)=-8, d.h.wir haben ein Maximum.
Jetzt musst du nur noch für b= -0,25a-4 in q und w einsetzen.
Damit hast du eine Funktion V(a)=q*w*b, die vom Parameter a abhängig ist, da es sich um eine Funktionenschar handelt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 So 18.09.2005 | | Autor: | evilmaker |
Wahnsinn - auf diese Weise habe ich gar nicht gedacht.
Tausend Dank fuer die Hilfe, hat mir echt den Tag gerettet :).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 So 18.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Mato,
> Das Volumen hängt ja vom Flächeninhalt A ab. Je größer A
> ist, desto größer ist auch V, deshalb rechne lieber mit A,
> es ist viel einfacher.
Es ist zwar einfacher, aber auch falsch!
Ohne die Begutachtung deiner weiteren Rechnung müsste der größte Flächeninhalt doch dann angenommen werden, wenn man gar nichtsabschneidet, also eine Höhe 0 wählt. Dann ist aber das Volumen auch Null!
Hier muss also schon das Volumen maximiert werden.
Dann noch eine Anmerkung zu deiner Rechnung an sich, die auch bereits zeigt, dass dein vermeintlich einfacherer Ansatz nicht stimmen kann:
> Die neue Länge nennen wir q und die neue Breite w.
> q=(16-2b) und w=(a-2b)
> [mm]A(b)=q*w=(16-2b)(a-2b)=-4b^2-2ab-32b[/mm]
Wenn ich (16-2b)(a-2b) ausmultipliziere, erhalte ich
$A(b)$
$=(16-2b)(a-2b)$
[mm] $=16a-32b-2ab+4b^2$
[/mm]
Wie kommst du auf dein Ergebnis?
> Die Ableitung ist dann: A'(b)=-8b-2a-32, nach b aufgelöst:
> b=-0,25a-4
Also ist b negativ (da a positiv ist). Das kann also nicht stimmen.
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 So 18.09.2005 | | Autor: | Mato |
Oh, stimmt, mein Ergebnis nach dem Ausmultiplizieren ist ja völlig!
Entschuldigung, ich war dann doch gegen 23 Uhr zu müde, um Matheaufgaben zu rechnen.
Ich hatte aber auch zuerst mit dem Volumen gerechtnet, da kamen aber zu komplizierte Rechnungen raus, wie z.B. b=irgendwas +- [mm] \wurzel{irgendwas}, [/mm] und wenn b in andere Gleichungen setzte, dann wurde die Rechnung noch länger. Deshalb dachte ich mir, es gäbe bestimmt einen einfacheren Weg.
Jedenfalls, danke für deine Korrektur!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:52 So 18.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo evilmaker,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich bin nun in der 12. Jahrgangstufe und versuche mich am
> Mathe LK.
> In etwa einer Woche schreiben wir eine Klausur und es wird
> zur Zeit gepaukt - deswegen habe ich einige Fragen zu einer
> Aufgabe aus meinem Buch:
>
> "Aus einem Stueck Pappe der Laenge 16cm und der Breite a cm
> werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten und die
> ueberstehenden Teile zu einer nach oben offenen Schachtel
> hochgebogen. Bei welchen Maßen hat die Schachtel maximales
> Volumen?"
>
> Hier nun meine Loesungsansaetze zu dieser Aufgabe:
>
> Variable b wurde fuer die Hoehe benutzt. Nach meinem
> Verstaendnis ist also a ein Parameter und b die Variable.
> Folgende Funktion habe ich nun berechnet:
>
> [mm]\begin{matrix}
V(b)&=& (16 - 2b) * (a - 2b) * b \\
\ & =& (16 - 2b) * (ab - 2b^2)
\end{matrix}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
An dieser Stelle solltest du dir noch überlegen, welche Werte für b überhaupt Sinn machen, also die Definitionsmenge von b bestimmen.
Bedingungen, die b einschränken, sind:
Alle Kantenlängen müssen positiv sein, also: 16-2b>0 und a-2b>0 und b>0
> Habe als Ansatz halt a * 16cm * b gewaehlt --> durch b
> veraendert sich aber selbstverstaendlich a als auch 16cm,
> deswegen (16 - 2b) fuer die eine Seite, (a - 2b) fuer die
> andere Seite. Ich hoffe, dass ich das jetzt verstaendlich
> aufgeschrieben habe.
> Meine Frage hierzu: Lieg ich mit meiner Ueberlegung
> richtig?
> Weiter gehts:
> Erste Ableitung mittels Produktregel bilden:
> [mm]\begin{matrix}
V'(b)&=& -2 * (ab - 2b^2) + (16\red{a} - 2b) * (a - 4b) \\
\ & =& -4ab + 12b^2 + 16a - 64b
\end{matrix}[/mm]
, das rot markierte a ist fehl am Platz, aber es das istwohl nur ein Flüchtigkeitsfehler, da die ausmultiplizierte Zeile wieder stimmt.
> Soweit meine etwas ungeordnete Funktion :). Ich hoffe, dass
> die Ableitung richtig ist - so schlechts siehts nicht aus.
> Weiter gehts mit der Notwendigen Bedingung:
>
> Ableitung wird = 0 gesetzt und ich wende die PQ Formel an:
>
> -4ab + [mm]12b^2[/mm] + 16a - 64b = 0 <-- Frage: Darf -4b und -64b
> zusammengefasst werden? a ist immerhin ein Parameter und
> laut Lehrerin: "Behandelt die Parameter immer wie Zahlen."
Du meinst oben -4ab und -64b 
Deine Lehrerin hat Recht, Summanden können nur zusammengefasst werden, wenn sie alle Variablen in derselben Potenz enthalten. Also kann hier nicht zusammengefasst werden.
>
> Zusammengefasst sollte es also:
> [mm]b^2 - \bruch{17}{3}ab + \bruch{4}{3}a = 0[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Ich rechne mal eben nach:
$-4ab + [mm] 12b^2 [/mm] + 16a - 64b = 0$
[mm] $\gdw$ $12b^2-(64+4a)*b+16a=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $b^2-\bruch{1}{12}*(64+4a)*b+\bruch{4}{3}a=0$
[/mm]
Hier sieht es also so aus, als hättest du 64+4a zu 68a zusammenfasst -- das ist nach meinen obigen Bemerkungen nicht richtig.
> Darauf die PQ Formel angewandt (den Schritt hab ich jetzt
> mal nicht aufgeschrieben, da ich denke, dass ich die pq
> Formel soweit beheersche). Am ende kam fuer b:
>
> b1 [mm]\approx[/mm]=5,42a und b2 [mm]\approx[/mm] 0,246a
>
> Hierzu noch eine Frage: Wie behandelt man beispielsweise
> diese Rechnung:
> 2a² - 1a --> a ist ein Parameter, wie verrechne ich diese
> beiden Parameter miteinander?
Geht nicht, s.o.
> Soweit so gut - nur was fange ich jetzt mit dem Ergebnis
> an? Was bedeutet es? Ich habe bisher nur hierher gerechnet
> und weiß, dass da nach noch die Ueberpruefung obs Maximum
> oder Minim ist folgt - das habe ich mir aber erstmal
> erspart, da ich mir echt total unsicher bin bei meiner
> Aufgabe.
Du hast den wichtigsten Schritt, das Aufstellen der Zielfunktion und das Prinzip der Maximumbestimmung, völlig richtig gemacht. Nur beim Zusammenfassen der Summanden besteht noch... Übungsbedarf 
Rechne nun einfach mit meiner korrigierten Gleichung weiter.
Du kommst dann auf ein ähnliches Ergebnis wie du es schon hattest.
Das bedeutet dann einfach --nun mal angenommen, deine Ergebnisse wären richtig--, dass du an den Ecken Quadrate mit den Seitenlängen 5,42a oder 0,246a abschneiden musst, um eine Schachtel mit maximalem Volumen zu erhalten.
Hier musst du die Ergebnisse unbedingt mit der Definitionsmenge von b abstimmen -- zum Beispiel liegt 5,42a sicher nicht mehr darin...
> Ich hoffe jemand kann mir meine Fragen erklaeren - die
> Forenregeln hab ich gelesen, falls ich irgendwelche Regeln
> missachtet habe oder meine Fragen als "unhoeflich" o.Ä.
> angesehen werden, so bitte ich dies zu entschuldigen - ich
> frage nicht mit der Absicht irgendjemanden zu veraergern.
> Verzeiht meine vielleicht dummen Fragen, aber ich bin mir
> teilweise sehr unsicher bei gewissen Sachen.
Ich hoffe, es steht nichts in den Forenregeln, dass dich zu diesem Satz verleitet hatte...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 So 18.09.2005 | | Autor: | evilmaker |
Ich moechte mich nochmal vielmals bei euch bedanken fuer eure tolle Hilfe! Scheinbar bin ich doch nicht so schlecht, wie ich gedacht habe. Zudem freut es mich, dass ich so freundlich empfangen wurde :).
Ich denke, dass ich noch des oefteren hier Fragen stellen werde. Also nochmals vielen vielen Dank!
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Halli Hallo.
Nach der Korrektur der Funktion habe ich mal weiter gerechnet:
[mm]x^2 - \bruch{1}{12}*(4a+64)x+\bruch{4}{3}a=0[/mm]
p ist somit = [mm] -\bruch{1}{12}*(4a+64)
[/mm]
q = [mm] \bruch{4}{3}a
[/mm]
Richtig?
Ok weiter (PQ Formel scho bissl ausmultipliziert aus Platzgruenden):
[mm]x1/2 = - \bruch{(-1/3a - 16/3)}{2} +- \wurzel{\bruch{1/9a²+256/9}{4}-\bruch{4}{3}}[/mm]
Soweit so gut - die Brueche innerhalb der Brueche wurden mit x/y gekennzeichnet, weil ich mit Tex noch nicht soo befluegelt bin :).
Soweit sollte alles richtig sein, oder?
Frage:
[mm]- \bruch{(-1/3a - 16/3)}{2}[/mm]
Hier habe ich nun folgendes gemacht: -1/3a und -16/3 seperat durch 2 geteilt (aufgrund des Parameters) - ist dies zulaessig? Darf ich sowas machen?
Falls ja dann sollte als Ergebnis:
x1 = 2/6a + 5,070 v x2 = 0,262 rauskommen
Erstere ergibt letzendlich in der zweiten Ableitung eine Minimalstelle --> sollte also falsch sein.
Zweiteres ergibt eine Maximalstelle --> gilt dies also als richtig? Sieht mir so "merkwuerdig" aus, da es kein a beinhaltet (wobei das a in der Ursprungsfunktion so oder so wieder vorkommt und Zusammenhaenge dadurch entstehen).
So das sind wieder einige Fragen, hoffe ihr koennt mir hierbei helfen. Bitte verzeiht meine Probleme, die ich noch mit Tex und den dazugehoerigen Formeln habe.
Schonmal vielen Dank im vorraus!
MFG Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Mo 19.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo evilmaker!
> Halli Hallo.
> Nach der Korrektur der Funktion habe ich mal weiter
> gerechnet:
>
> [mm]x^2 - \bruch{1}{12}*(4a+64)x+\bruch{4}{3}a=0[/mm]
>
> p ist somit = [mm]-\bruch{1}{12}*(4a+64)[/mm]
> q = [mm]\bruch{4}{3}a[/mm]
>
> Richtig?
> Ok weiter (PQ Formel scho bissl ausmultipliziert aus
> Platzgruenden):
>
> [mm]x1/2 = - \bruch{(-1/3a - 16/3)}{2} +- \wurzel{\bruch{1/9a²+256/9}{4}-\bruch{4}{3}}[/mm]
Hmm, da ist schon ein ziemlicher "Klopps" drin (und du hast bei q das a vergessen)
Und zwar gilt bei dir: [mm] $\left(\bruch{1}{3}a+\bruch{16}{3}\right)=\left(\bruch{1}{3}a\right)^2+\left(\bruch{16}{3}\right)^2$
[/mm]
Die Potenz einer Summe ist aber nicht die Summe der Potenzen, was ein Ausmultiplizieren sofort zeigt, in der fertigen Form auch "binomische Formel" genannt
Also, ich mache diesen Rechenschritt mal vor, vorweg aber erst [mm] $\bruch{p}{2}=\bruch{- \bruch{1}{3}*(a+16)}{2}=- \bruch{1}{6}*(a+16)$
[/mm]
[mm] $x_{1,2}=\bruch{1}{6}*(a+16)\pm\wurzel{\left(\bruch{1}{6}*(a+16)\right)^2-\bruch{4}{3}a}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{6}*(a+16)\pm\wurzel{\bruch{1}{36}*(a+16)^2-\bruch{48a}{36}}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{6}*(a+16)\pm\wurzel{\bruch{1}{36}*(a^2+32a+256-48a)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{6}*(a+16)\pm\wurzel{\bruch{1}{36}*(a^2-16a+256)}$
[/mm]
[mm] $=\bruch{a+16\pm\wurzel{a^2-16a+256}}{6}$
[/mm]
Weitere Vereinfachen sind nicht möglich, jedenfalls sehe ich sie nicht. Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe, denn so dankbar ist dieses Ergebnis nicht, um damit die hinreichende Bedingung ("zweite Ableitung ungleich Null") zu überprüfen...
> Soweit so gut - die Brueche innerhalb der Brueche wurden
> mit x/y gekennzeichnet, weil ich mit Tex noch nicht soo
> befluegelt bin :).
>
> Soweit sollte alles richtig sein, oder?
> Frage:
>
> [mm]- \bruch{(-1/3a - 16/3)}{2}[/mm]
> Hier habe ich nun folgendes gemacht: -1/3a und -16/3
> seperat durch 2 geteilt (aufgrund des Parameters) - ist
> dies zulaessig? Darf ich sowas machen?
Ja, klar, das nennt man Ausmultiplizieren: [mm] $\bruch{(-\bruch{1}{3}a - \bruch{16}{3})}{2}=\bruch{1}{2}*(-\bruch{1}{3}a [/mm] - [mm] \bruch{16}{3})=-\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}a-\bruch{1}{2}*\bruch{16}{3}$
[/mm]
> Falls ja dann sollte als Ergebnis:
>
> x1 = 2/6a + 5,070 v x2 = 0,262 rauskommen
>
> Erstere ergibt letzendlich in der zweiten Ableitung eine
> Minimalstelle --> sollte also falsch sein.
>
> Zweiteres ergibt eine Maximalstelle --> gilt dies also als
> richtig? Sieht mir so "merkwuerdig" aus, da es kein a
> beinhaltet (wobei das a in der Ursprungsfunktion so oder so
> wieder vorkommt und Zusammenhaenge dadurch entstehen).
Das wundert mich auch, selbst mit deinen Ergebnissen dürfte es keine Lösung ohne a geben -- ich vermute einen weiteren Rechenfehler deinerseits.
> So das sind wieder einige Fragen, hoffe ihr koennt mir
> hierbei helfen. Bitte verzeiht meine Probleme, die ich noch
> mit Tex und den dazugehoerigen Formeln habe.
Hauptsache, es ist lesbar, und das ist es doch!
Brüche kannst du hier übrigens so machen:
\bruch{1}{2} ergibt [mm] $\bruch{1}{2}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Mo 19.09.2005 | | Autor: | evilmaker |
Wahnsinn. Dein Ergebnis stimmt mit dem, unserer Lehrerin ueberein. Gut, dass ich hier gefragt habe, da heute die letzte Stunde vor der Klausur war und wir diese Aufgabe nicht fertig besprochen haben.
Wie ich mich inzwischen fuer deine umfangreiche Hilfe bedanken soll, weiß ich nicht :). Ein normales Danke reicht bei dieser Aktzeptanz meiner dummen Fragen ja schon gar nicht mehr aus :). Jedenfalls kann ich jetzt endlich sagen, dass alle Fragen diesbezueglich geklaert sind und ich inzwischen alle Fehler verstanden habe. Werde mich also gleich erstmal ans rechnen machen :).
Vielen vielen vielen Dank fuer die tolle Hilfe!
MFG Tim
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