Max Volumenber eines Tetrapaks < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo erstmal an alle forumuser,ich bin ja neu hier.
also ich habe folgendes problem. ich muss für einen mathe test lernen und scheiter bei folgendem thema: wir sollen von einem tetrapak das max volumen errechnen,sprich mit den s.g. extremwertaufgaben. leider haben wir das in verbindung mit volumen noch nicht bearbeitet und sollen das auf eigene faust lernen,leider krieg ich es nicht hin und benötige dringend hilfe weil der test morgen ansteht. also ich habe beispielsweise ein tetrapak mit einer gesamt oberfläche von beispielsweise 300cm². wie errechne ich nun das max. volumen das man mit dem vorhandenen material erreichen kann. weil die packungen sind ja so zusammengesetzt das möglichst viele auf eine palette passen und nicht das die packung möglichst viel fassungsvermögen hat. also wer könnte mir helfen das mit hilfe einer extremwertaufgabe zu lösen. wäre echt super super nett. lieben gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
> Hallo erstmal an alle forumuser,ich bin ja neu hier.
> also ich habe folgendes problem. ich muss für einen mathe
> test lernen und scheiter bei folgendem thema: wir sollen
> von einem tetrapak das max volumen errechnen,sprich mit den
> s.g. extremwertaufgaben. leider haben wir das in verbindung
> mit volumen noch nicht bearbeitet und sollen das auf eigene
> faust lernen,leider krieg ich es nicht hin und benötige
> dringend hilfe weil der test morgen ansteht. also ich habe
> beispielsweise ein tetrapak mit einer gesamt oberfläche von
> beispielsweise 300cm². wie errechne ich nun das max.
> volumen das man mit dem vorhandenen material erreichen
> kann. weil die packungen sind ja so zusammengesetzt das
> möglichst viele auf eine palette passen und nicht das die
> packung möglichst viel fassungsvermögen hat. also wer
> könnte mir helfen das mit hilfe einer extremwertaufgabe zu
> lösen. wäre echt super super nett. lieben gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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![[]](/images/popup.gif) Schau dir mal diese Seite an
Danach gibt es eine feste Beziehung zwischen Fläche und Volumen.
[mm]V=\bruch{\wurzel{2}}{12}\cdot{}a^3[/mm]
Was willst du da maximieren?
Gruss
Eberhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Mo 28.02.2005 | | Autor: | sascha4 |
Hallo,
ich denke hier leigt ein Missverständniss vor:
Tetrapack ist nicht gleich Tetraeder. Gemeint ist ein tetrapack in dem üblicher-Weise Saft, Milch etc. verpackt wird.
Ich denke wir dürfen den Tetrapack als Quader annehmen dessen Oberfläache sich aus den Flächen aller Seiten zusammensetzt. Das heißt wir vernachlässigen das Material das für die Laschen (zum Milchausgießen, ...) benötigt wird).
(sorry für dei falsch markierung - war wohl übertrieben - dachte er lässt mir einen ich denke es ist falsch weil kommentar schreiben ...)
Grüße
Sascha
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Hallo!
Ich bin mir ziemlich sicher, dass Du noch zusätzlich Infos zu dem Tetrepak. Kann es sein (vielleicht hast du's überlesen), dass die Grundfläche quadratisch ist? Ich nehme das jetzt einfach mal an und zeige dir exemplarisch den Rechenweg.
Der Körper ist ein Quader mit quadratischer Grundfläche, dann gilt:
Die Oberfläche [mm] O(a)=4ab+2a^{2}=300 [/mm] (2*Länge*Breite+2*Länge*Höhe+2*Breite*Höhe)
Das Volumen [mm] V(a)=a^{2}*b
[/mm]
Das größte Volumen ist gesucht, also der Hochpunkt.
Die Ableitung ist: V'(a)=2ab
Jetzt musst Du bei O=... nach b auflösen und erhälst:
[mm] b=\bruch{1}{4a}*(300-2a^{2})
[/mm]
das setzt du jetzt in V'(a) ein. Jetzt kannst du einfach nach a auflösen. Das ist dann die Kantenlänge a, bei der das größte Volumen erreicht wird.
Durch einsetzen in b=...(s.o.), erhälst du die passende Kantenlänge b.
Jetzt muss du nur noch a und b in V=... einsetzen und du hast das Ergebnis.
Achja, eigentlich musst du noch überprüfen, ob es wirklich ein Hochpunkt ist, aber da weißt du sicher, wie's geht, oder?
Ich hoffe, ich konnte Dir helfen. Wie gesagt, wahrscheinlich hast du die Form der Grundfläche vorgegeben oder aber gleich eine Kantenlänge.
Gruß, Adrienne
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also die genauen maße des tetrapacks sind:
9cm x 7cm x 23cm
nun muss ich erst das volumen,und dann die gesamtfläche ausrechnen.das ist der erste teil der aufgabe. nachdem ich das getan habe muss ich das maximale volumen was mit der fläche raus zu holen ist errechnen. und die lösung ist mit den schritten die du genannt hast zu lösen? aber trotzdem schonmal vielen vielen dank!!!!
lieben gruß
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Also wenn du die Längen hast, rechnest du erst das Volumen und Fläche nach den dir bekannten Formeln aus - dann weiter wie beschrieben.
Wie gesagt - sofern die Grundfläche quadratisch ist. Aber das ist bei einem max. Volumen eigentlich anzunehmen.
Gruß, Adrienne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 01.03.2005 | | Autor: | sascha4 |
Hallo Adriannr,
wie kommst du darauf dass es anzunehmen ist das die Grundfläche quadratisch ist? sonst könnte ich ja ähnlch annehmen dass alle Flächen Quadrtisch sind .... wo liegt der Grund für deine Annahme?
Die Lösung des Problemes ist auf jeden Fall mit Lagrange zu erreichen - aber ich denke nicht das dies Schulstoff ist ... von daher muss es noch einen anderen Weg geben ...
Grüße
Sascha
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Di 01.03.2005 | | Autor: | Adrienne |
Hallo Sascha!
Glaub auch, dass das nicht Schulstoff ist - zumindest hab ich das noch nie gehört und mit Extremwert-Aufgaben bin ich eigentlich ganz gut vertraut.
Und genau das ist der Grund meiner Annahme. Wenn ich die Grundfläche beliebig lasse, bekomme ich das Problem, dass ich nicht genug Daten/Nebenbedingungen habe, um zu einer Lösung zu kommen - eine Variable bleibt immer übrig.
Nimmt man aber an, die Grundfläche sei quadratisch - meinetwegen auch kreisförmig - schränke ich die Parameter ein...
Sicherlich gibt es auch eine Lösung ohne Einschränkungen machen zu müssen, aber ich bin ja nur ein kleiner 12er-Mathe-Lkler 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 So 06.03.2005 | | Autor: | bigj26 |
Hi,
in der Tat ist Tetra-Pack denke ich kein Schulstoff. Wenn man aber die Kleberänder vernachlässigt und sich nur auf die Verhältnisse eines aufgeschnitteten Tetra-Packs bezieht und das dann dann mit Lagrange durchrechnet, kommt man automatisch auf eine quadratische Grundfläche, ohne diese vorrausgesetzt zu haben.
Man muß sich halt die Verhältnisse von nem aufgeschnitteten Tetra-pack anschauen, weil dort material verwendet wird, was nachher zu den Laschen zusammengeknickt wird. Die bilden ja quasi ein Tetraeder...
Bis dann
bigj26
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Also der test war denke ich ok aber mich wurmt es trotzdem noch unwissend zu sein ob ich richtig gerechnet habe!!
also ich habe jetzt als vorraussetzung das die grundfläche quadratisch ist. die seitenlänge grundfläche ist x=10cm, die höhe hat h=20cm. ich habe nach dem verfahren von adrienne gerechnet und bekomme als lösung das ich das maximale volumen mit folgenden seitenlängen erreiche: x~ 12,91 h~12,91. wäre also rein theoretisch das maximale volumen mit einem würfel rauszuholen? gruß
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Wenn der Tetrapack die Maße 9cm x 7cm x 23cm hat, beträgt die Oberfläche [mm] O=2*9cm*7cm+2*9cm*23cm+2*7cm*23cm=862cm^2 [/mm]. Wenn wir davon ausgehen, daß bei gegebener Oberfläche ein Würfel das größte Volumen besitzt (die Kugel und den Zylinder lassen wir mal unberücksichtigt), erhalten wir für den Würfel eine Kantenlänge von [mm] a=\wurzel{\bruch{862 cm^2}{6}}=11,986 cm [/mm]. Das Volumen des Würfels beträgt dann
[mm]1721,96 cm^3[/mm].
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@ adrienne:
wenn ich nach deiner methode rechne und den ganzen formeln bekomme ich kein gescheites ergeniss raus....ich habe das jetzt mit dem obigen beispiel gerechnet also mit den 300cm² und bekomme einen -wert raus und das kann ja nicht sein. für a bekomme ich ~12,25 raus. für b einen minuswert. wäre super wenn du mir nochmal weiterhelfen würdest.
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hm ich habe folgendes problem,das ich mit der seitenlänge von a also den beiden grundflächen bereits das maximum erreiche und ich dann bei b immer um die null raus bekomme!!! was mache ich nun??? oder hat die aufgabe keine lösung?
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Di 08.03.2005 | | Autor: | Adrienne |
Ich hab etwas Probleme, Deine Frage nachzuvollziehen.
"...ich mit der seitenlänge von a also den beiden grundflächen bereits das maximum erreiche "
Es ging doch darum, dass du die Oberfläche hast und dann daraus das max. Volumen errechnen solltest, oder?
Die beiden Grundflächen (oben und unten) sind teil der Oberfläche.
Bei der Volumenberechnung spielt aber nur eine der Grundflächen eine Rolle, die dann mit die Höhe b multipliziert wird.
Allein mit den Grundflächen kann man also garnicht kein Volumen erhalten. (das sieht man ja auch schon an den Einheiten. Angenommen a=1dm, dann sind beide die Grundfläche [mm] 2dm^{2}. [/mm] Gefordert ist doch aber die Einheit [mm] dm^{3}). [/mm]
Ich weiß, das wird wahrscheinlich nicht dein Problem lösen, aber es hilft dir vielleicht, die Frage genauer zu stellen, dann helf ich dir auch gerne "richtig"
Viele Grüße
Adrienne
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Also mein problem liegt darin.....
ich habe als oberfläche meines tetrapaks 924,5cm².
ich habe genau nach deinem verfahren gerechnet. als seitenlänge für a bekomme ich dann 21,5cm raus. setze ich diesen wert dann in die gleichung die du mir gennant hast, b=..., ein bekomme ich für b 0 raus. was ja auch verständlich ist denn wenn ich die beiden grundflächen ausrechne,das wären ja: a² * 2 kommt 924,5 raus,also die gesamte oberfläche die ich zur verfügung habe,verstehst du?
und ich weiß nicht ob die aufgabe einfach keine lösung hat,was ich mir leider eher weniger vorstellen kann, oder ob ich einen rechen fehler habe, was ich mir aber auch nicht vorstellen kann. könntest du vielleicht die rechnung hier mal aufstellen. wäre echt super.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Di 08.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Woher hast dubei nur ganzzahligen Seitenlaengen denn die 924,5 her?
Aber egal: mit deinem Wert ist doch [mm] V=b*a^{2}=\bruch{1}{4a}*(924,5-2*a^{2})*a^{2}
[/mm]
[mm] V'=\bruch{1}{4}(924,5-6*a^{2}) [/mm] daraus
V'=0 [mm] \Rightarrow a^{2}=924,5/6
[/mm]
das eingesetzt gibt fuer h denselben Wert wie a. Du musst dich beim Aufstellen der Formel vertan haben, ich vermute du hast V=0 gerechnet und nicht V'=0! Dann solltest du dich nicht wundern, wenn auch V=0 rauskommt!
Gruss leduart
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adrienne wärst du so lieb und würdest mal ausführlich aufschreiben wie du rechnen würdest. ich denke zwar nicht das ich mich irgendwo vertan habe aber möglich wäre es ja. wäre echt sehr wichtig.
vielen lieben dank.
gruß
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Hallo Fensterwischer,
ich muss mich bei dir entschuldigen, ich hab tatsächlich einen kleinen Denkfehler gemacht.
Also O=924,5 (Einheiten lass ich weg)
[mm] V=a^{2}b
[/mm]
Klar ist V'=0, mein Fehler war nur, dass du erst die Oberflächen-Formel nach b auflösen musst, dann b in die Formel V einsetzt und dann erst die Ableitung bildest!
Dann kriegst du nämlich folgendes raus:
[mm] V'=\bruch{924,5}{4}-\bruch{3}{2}a^{2}=0
[/mm]
[mm] a\approx [/mm] 12,41, nach Einsetzen ergibt sich für b der gleiche Wert.
Um das max. Volumen zu erreichen, baut man am besten einen Würfel.
Ich hoffe, dass du mir das nicht übelnimmst.
Gruß, Adrienne
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um gottes willen,nein das nehm ich dir nicht übel. bin nur froh das der fehler jetzt gefunden wurde!!!
lieben dank und gruß
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Prima! 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:35 Mi 09.03.2005 | | Autor: | leduart |
Die Frage ist auf die Rueckfrage schon beantwortet
leduart
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