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Hallo Leute,
ich hab da mal eine Frage, und zwar folgende:
Ein oben offener rechteckiger Behälter soll ein Volumen von [mm] 256cm^3 [/mm] haben. Um die Kosten für den Behälter zu minimieren, sucht man die Werte für die kleinste Oberfläche (Boden und 4 Seiten).
Es könnte sein, dass die Antwort eigentlich ganz einfach ist, aber ich komme gerade partout nicht darauf.
Könnte mir dabei vielleicht jemand helfen?
Danke schön.
Zee
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 So 22.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zee!
Gar keine eigenen Ideen?
Welche Formel benötigen wir denn?
Seien die Abmessungen unseres Behälters:
Grundfläche $a \ × \ b$
Höhe $h$
Dann gilt doch für unser Volumen [mm] $V_{Quader} [/mm] \ = \ a * b * h \ = \ 256 \ [mm] cm^3$
[/mm]
Der Materialverbrauch (= Oberfläche) beträgt dann:
[mm] $O_{Material} [/mm] \ = \ O(a,b,h) \ = \ a*b + 2*b*h + 2*a*h$
Die Volumenformel können wir nun nach einer der Seiten umstellen und dann in die Oberflächenformel einsetzen.
Mit der Oberflächenformel als Zielfunktion kann man dann eine Extremwertberechnung durchführen.
Kann es sein, daß Du uns noch irgendeine Information vorenthältst (z.B. ein der Flächen ist quadratisch)? Bitte sieh' doch nochmal nach.
Andernfalls mußt du eine Berechnung nach zwei Variablen durchführen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 22.05.2005 | | Autor: | zeedeveel |
Hallo Loddar,
wie sich das Volumen berechnen lässt, habe ich mittlerweile in Erfahrung gebracht, wenn L die Länge und B die Breite sowie H die Höhe, kann man folgende Funktion dazu aufstellen.
f(l,b,h)= lb+2(lh+bh)
(lb nur einmal, da ja obendrauf kein material verwendet wird)
und dies ist wohl nun zu minimieren, eine vorraussetzung ist nun, dass [mm] l*b*h=256cm^3
[/mm]
nur genau da komme ich nicht weiter. mehr gibt die aufgabenstellung leider nicht her. (nur dass die kleinste oberfläche gesucht ist).
Zee
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hmja, da hatte wohl jemand recht.
durch auflösen nach h erhält man eine gleichung mit zwei variablen,
nämlich A(l,b)= [mm] lb+2((256cm^3/l)+(256cm^3/b))
[/mm]
Wenn man nun partiell ableitet, bekommt man dieses:
$ [mm] \bruch{\partial A}{\partial l}=b+2(-256cm^3/l^2) [/mm] $
und
[mm] \bruch{\partial A}{\partial b}=l+2(-256cm^3/b^2)
[/mm]
Wie auch immer, am ende zeigt sich, dass b=l, also dass die seitenflächen quadratisch sind.
aberaberaber wie gehts nun weiter?
Danke schön.
Zee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 So 22.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Zee
> hmja, da hatte wohl jemand recht.
>
> durch auflösen nach h erhält man eine gleichung mit zwei
> variablen,
> nämlich A(l,b)= [mm]lb+2((256cm^3/l)+(256cm^3/b))[/mm]
> Wenn man nun partiell ableitet, bekommt man dieses:
>
> [mm]\bruch{\partial A}{\partial l}=b+2(-256cm^3/l^2)[/mm]
> und
> [mm]\bruch{\partial A}{\partial b}=l+2(-256cm^3/b^2)[/mm]
>
> Wie auch immer, am ende zeigt sich, dass b=l, also dass die
> seitenflächen quadratisch sind.
>
Du meinst, dass die Grundfläche quadratisch ist?
Nun, du musst einfach beide Partiellen Ableitungen null setzen:
die [mm] $cm^3$ [/mm] lassen wir mal weg.
[mm] $b-512/l^2=0$
[/mm]
[mm] $l-512/b^2=0$
[/mm]
[mm] $bl^2=512$
[/mm]
$b^2l=512$
Die zweite Gleichung sagt: [mm] $l=\bruch{512}{b^2}$
[/mm]
In der ersten Gleichung eingesetzt:
[mm] $\bruch{b*512^2}{b^4}=512$
[/mm]
[mm] $\bruch{512}{b^3}=1$
[/mm]
[mm] $b^3=512$
[/mm]
$b=8_$
Damit auch $l=8_$, und $h=4_$
Hier könnte man die Längeneinheit wieder einsetzen. 
Alles klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Mo 23.05.2005 | | Autor: | zeedeveel |
Hallo Paulus,
vielen Dank für die nette Hilfestellung.
Gruß, Marie
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