Maximale Fläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg. f(x)= [mm] (x^2-2)e^-^x
[/mm]
Für jedes [mm] x_p [/mm] mit [mm] \wurzel{2}
Ermitteln Sie den Wert [mm] x_p, [/mm] für den der Flächeninhalt dieses Dreieckes maximal wird und geben Sie den Flächeninhalt an. |
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") Guten Abend Zusammen!
Wollte nur - bevor ich losrechne - wissen ob mein Lösungsansatz passt.
Für jedes beliebige Dreieck gilt A= [mm] \bruch{1}{2} c*h_c [/mm] ; also A= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x*f(x) und davon dann Nullstellen bestimmen und die im vorgegebenen Interval ist die Lösung. Passt das?
Danke + LG Markus
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Hallo Markus110,
> Geg. f(x)= [mm](x^2-2)e^-^x[/mm]
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> Für jedes [mm]x_p[/mm] mit [mm]\wurzel{2}
> Koordinatenursprung, den Punkt [mm]P_p (x_p;f(x_p))[/mm] und dem
> Punkt [mm]Q_p (x_p;0)[/mm] ein Dreieck bestimmt.
> Ermitteln Sie den Wert [mm]x_p,[/mm] für den der Flächeninhalt
> dieses Dreieckes maximal wird und geben Sie den
> Flächeninhalt an.
> Guten Abend Zusammen!
>
> Wollte nur - bevor ich losrechne - wissen ob mein
> Lösungsansatz passt.
>
> Für jedes beliebige Dreieck gilt A= [mm]\bruch{1}{2} c*h_c[/mm] ;
> also A= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x*f(x) und davon dann Nullstellen
> bestimmen und die im vorgegebenen Interval ist die Lösung.
> Passt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke + LG Markus
Gruß
MathePower
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Danke Mathepower!
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] x*f(x) <=> [mm] \bruch{1}{2} x*(x^2 [/mm] -2)e^-^x = [mm] (\bruch{1}{2}x^3-2x)*\bruch{1}{2}x*e^-^x
[/mm]
Die Nullstellen von [mm] (\bruch{1}{2}x^3-2x) [/mm] <=> [mm] x(\bruch{1}{2}x^2-2)
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}x^2-2 [/mm] =0 für x=2
(Die anderen Nullstellen bei (0;0) sind ausserhalb des gefoderten Intervals)
Stimmt das erstmal bis dahin? Danke schonmal + LG Markus
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Hallo,
[mm] A(x)=\bruch{1}{2}x(x^{2}-2)e^{-x}
[/mm]
beim Auflösen der Klammer ist aber einiges schief gelaufen
[mm] A(x)=(\bruch{1}{2}x^{3}-x)e^{-x}
[/mm]
so jetzt benötigen wir die maximale Fläche, also Extremwertbetrachtung, du benötigst also die Nullstelle der 1. Ableitung im Intervall
Steffi
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Hallo Zusammen!
Dank der Hilfe von Mathepower und Steffi konnte ich mich an die Lösung der Aufgabe machen.
A= [mm] \bruch{1}{2}x* [/mm] f(x)= [mm] \bruch{1}{2}x (x^2-2)e^-^x [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2}x^3-x)e^-^x
[/mm]
Davon die erste Ableitung: f'(x) = u'*v+u*v' ; [mm] u'=\bruch{3}{2}x^2-1 [/mm] und v'= e^-^x *(-1)
f'(x)= [mm] (\bruch{3}{2}x^2-1)e^-^x [/mm] + [mm] (\bruch{1}{2}x^3-x)e^-^x [/mm] *(-1)
f'(x)= [mm] (\bruch{3}{2}x^2-1) [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2}x^3+x)
[/mm]
f'(x)= [mm] (-\bruch{1}{2}x^3+x) [/mm] + [mm] (\bruch{3}{2}x^2-1) [/mm]
f'(x)= [mm] -\bruch{1}{2}x^3+\bruch{3}{2}x^2+x-1 [/mm]
(Hier hab ich mich dann für Polynomdivision entschieden und als gemeinsamen Faktor 1 gewählt)
Also: [mm] (-\bruch{1}{2}x^3+\bruch{3}{2}x^2+x-1) [/mm] : (x-1) = [mm] -\bruch{1}{2}x^2+x+2*\bruch{1}{(x-1)}
[/mm]
Die Nullstellen 0 und 1 liegen ausserhalb des geforderten Intervals.
Mit der Formel: D= [mm] \wurzel{b^2-4ac} [/mm] = [mm] \wurzel{1^2-4*(-\bruch{1}{2})*2} [/mm] = [mm] \wurzel{5}
[/mm]
ist [mm] x_1= \bruch{-b+D }{2a} [/mm] = [mm] \bruch{-1+ \wurzel{5} }{-1} [/mm] = [mm] 1-\wurzel{5}
[/mm]
und [mm] x_2= \bruch{-1- \wurzel{5} }{-1} [/mm] = [mm] 1+\wurzel{5} =\approx [/mm] 3,2361
[mm] f(3,2361)=\approx [/mm] 0,3331 ; Punkt [mm] P_p [/mm] (3,2361;0,3331) und [mm] Q_p [/mm] (3,2361;0)
in A= [mm] \bruch{1}{2}x* [/mm] f(x)= [mm] \bruch{1}{2}*3,2361*0,3331=\approx [/mm] 0,5390 F.E.
Stimmt das? Danke schonmal + LG Markus
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Hallo Markus110,
> Hallo Zusammen!
>
> Dank der Hilfe von Mathepower und Steffi konnte ich mich an
> die Lösung der Aufgabe machen.
>
> A= [mm]\bruch{1}{2}x*[/mm] f(x)= [mm]\bruch{1}{2}x (x^2-2)e^-^x[/mm] =
> [mm](\bruch{1}{2}x^3-x)e^-^x[/mm]
>
> Davon die erste Ableitung: f'(x) = u'*v+u*v' ;
> [mm]u'=\bruch{3}{2}x^2-1[/mm] und v'= e^-^x *(-1)
>
> f'(x)= [mm](\bruch{3}{2}x^2-1)e^-^x[/mm] + [mm](\bruch{1}{2}x^3-x)e^-^x[/mm]
> *(-1)
>
> f'(x)= [mm](\bruch{3}{2}x^2-1)[/mm] + [mm](-\bruch{1}{2}x^3+x)[/mm]
>
> f'(x)= [mm](-\bruch{1}{2}x^3+x)[/mm] + [mm](\bruch{3}{2}x^2-1)[/mm]
>
> f'(x)= [mm]-\bruch{1}{2}x^3+\bruch{3}{2}x^2+x-1[/mm]
Hier ist das [mm]e^{-x}[/mm] verlorengegangen.
[mm]f'\left(x\right)=-\bruch{x^{3}-3x^{2}+2x-2}{2}*e^{-x}[/mm]
>
> (Hier hab ich mich dann für Polynomdivision entschieden und
> als gemeinsamen Faktor 1 gewählt)
[mm]x=1[/mm] ist aber keine Nullstelle von [mm]f'\left(x\right)[/mm]
>
> Also: [mm](-\bruch{1}{2}x^3+\bruch{3}{2}x^2+x-1)[/mm] : (x-1) =
> [mm]-\bruch{1}{2}x^2+x+2*\bruch{1}{(x-1)}[/mm]
>
> Die Nullstellen 0 und 1 liegen ausserhalb des geforderten
> Intervals.
>
> Mit der Formel: D= [mm]\wurzel{b^2-4ac}[/mm] =
> [mm]\wurzel{1^2-4*(-\bruch{1}{2})*2}[/mm] = [mm]\wurzel{5}[/mm]
>
> ist [mm]x_1= \bruch{-b+D }{2a}[/mm] = [mm]\bruch{-1+ \wurzel{5} }{-1}[/mm] =
> [mm]1-\wurzel{5}[/mm]
>
> und [mm]x_2= \bruch{-1- \wurzel{5} }{-1}[/mm] = [mm]1+\wurzel{5} =\approx[/mm]
> 3,2361
>
> [mm]f(3,2361)=\approx[/mm] 0,3331 ; Punkt [mm]P_p[/mm] (3,2361;0,3331) und
> [mm]Q_p[/mm] (3,2361;0)
>
> in A= [mm]\bruch{1}{2}x*[/mm] f(x)=
> [mm]\bruch{1}{2}*3,2361*0,3331=\approx[/mm] 0,5390 F.E.
>
> Stimmt das? Danke schonmal + LG Markus
>
Leider nein.
Die Nullstellen von [mm]f'\left(x)\right)[/mm] sind zu ermitteln.
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower!
Mit Deiner Ableitung komme ich auf eine Nullstelle bei 2,5214. Stimmt die?
Nur fürs Veständniss: Kann man in dem Fall nicht die beiden e^-^x eliminieren? Da doch v=e^-^x und v'=e^-^x *(-1) in u'*v+u*v' zusammen addiert ergibt doch null. Oder hab ich da etwas falsch gemacht?
Nur hab ich so meine zweite Ableitung von f(x) berechnet, hab das e eliminiert und bin ich auf meine Wendepunkte der Funktion f(x) gekommen.
Also: f(x)= [mm] (x^2-2)e^-^x
[/mm]
f'(x)= [mm] e^-^x(2x-x^2+2)
[/mm]
f''(x)= [mm] x^2-4 [/mm] = 0 für [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2= [/mm] 4 die Wendepunkte sollen bei [mm] WP_1 [/mm] (0;-2) und [mm] WP_2 [/mm] (4;0,256) liegen. Warum hat das hier funktioniert das e zu wegzukriegen?
LG Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:15 Fr 21.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Mathepower!
>
> Mit Deiner Ableitung komme ich auf eine Nullstelle bei
> 2,5214. Stimmt die?
>
> Nur fürs Veständniss: Kann man in dem Fall nicht die beiden
> e^-^x eliminieren? Da doch v=e^-^x und v'=e^-^x *(-1) in
> u'*v+u*v' zusammen addiert ergibt doch null. Oder hab ich
> da etwas falsch gemacht?
> Nur hab ich so meine zweite Ableitung von f(x) berechnet,
> hab das e eliminiert und bin ich auf meine Wendepunkte der
> Funktion f(x) gekommen.
> Also: f(x)= [mm](x^2-2)e^-^x[/mm]
>
> f'(x)= [mm]e^-^x(2x-x^2+2)[/mm]
>
> f''(x)= [mm]x^2-4[/mm] = 0 für [mm]x_1=0[/mm] und [mm]x_2=[/mm] 4 die Wendepunkte
> sollen bei [mm]WP_1[/mm] (0;-2) und [mm]WP_2[/mm] (4;0,256) liegen. Warum hat
> das hier funktioniert das e zu wegzukriegen?
>
> LG Markus
Hallo,
die 1., 2., 3. usw. Ableitung besteht doch hier immer aus einem Produkt aus irgendeinem Polynom P(x) und dem Term [mm] e^{-x}.
[/mm]
Wenn du so eine Ableitung Null setzt, stellst du also die Gleichung
[mm] P(x)*e^{-x}=0 [/mm] auf.
Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoen Null wird. Allerdings wird [mm] e^{-x} [/mm] niemals Null. Also kann man die Gleichung beidseitig durch [mm] e^{-x} [/mm] teilen, und es ist verschwunden.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
> (Hier hab ich mich dann für Polynomdivision entschieden und
> als gemeinsamen Faktor 1 gewählt)
>
> Also: [mm](-\bruch{1}{2}x^3+\bruch{3}{2}x^2+x-1)[/mm] : (x-1) =
> [mm]-\bruch{1}{2}x^2+x+2*\bruch{1}{(x-1)}[/mm]
Wenn [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ eine Nullstelle des Polynoms [mm] $-\bruch{1}{2}x^3+\bruch{3}{2}x^2+x-1$ [/mm] wäre, müsste die entsprechende  Polynomdivision auch aufgehen (und kein Rest verbleiben wie bei Dir).
Tipp: Versuche es mal mit $-1_$ .
Gruß
Loddar
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