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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:31 Sa 11.06.2005 | | Autor: | suburbia |
Liebes Forum, ich hänge bei einer Aufgabe.
Man hat einen Zylinder (Höhe 2m) und daran ist unten ein Kegel (Mantelseitenlänge 6cm) und man soll die Werte für den maximalen Flächeninhalt angeben.
Ich habe mir durchdacht, dass ich die Volumen von Zylinder und Kegel addieren muss und der Radius der beiden Objekte gleich ist.
[mm] V_Z=r^2*\pi*h_z
[/mm]
[mm] V_K=\bruch{1}{3}*r^2*\pi*h_k
[/mm]
Ergibt die Gesamtfunktion:
[mm] V(r)=(r^2*\pi*h_z)+(\bruch{1}{3}*r^2*\pi*h_k)
[/mm]
Bekannt ist ja: [mm] h_z=200
[/mm]
Da [mm] h_k [/mm] noch unbekannt ist, habe ich mir vorgestellt, dass man ein Dreieck in den Kegel einbeschreiben kann und man somit [mm] h_k [/mm] darstellen kann.
Berechnung über den Pythagoras:
s ist in meinem Fall die angegebene Mantelseitenlänge
[mm] s^2=r^2+h_k^2
[/mm]
[mm] h_k= \wurzel{s^2-r^2} [/mm] -> [mm] h_k=\wurzel{36-r^2}
[/mm]
Diesen Wert setze ich dann in die obige Formel für [mm] h_k [/mm] ein und bekomme folgendes Ergebnis:
[mm] V(r)=r^2*\pi*200+\bruch{1}{3}*r^2*\pi*\wurzel{36-r^2}
[/mm]
Mir ist klar, dass ich nun davon die erste Ableitung bilden muss, diese dann Null setzen um die Extrema zu bekommen, nur ich komme nicht weiter, wie ich da mit dieser Wurzen nach r ableiten soll?
Kann bitte jemand da einmal darüber schauen, ob man das nicht vielleicht viel einfacher machen kann bzw. mir einen Tipp geben kann, wie man das berechnet? Wenn ich die Produktregel benutze, dann wird das ein ellenlanger Term.
Vielen Dank, suburbia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo suburbia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Liebes Forum, ich hänge bei einer Aufgabe.
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> Man hat einen Zylinder (Höhe 2m) und daran ist unten ein
> Kegel (Mantelseitenlänge 6cm) und man soll die Werte für
> den maximalen Flächeninhalt angeben.
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
eine sehr ungewönliche Aufgabenstellung?!
meinst du wirklich den Flächeninhalt, das heißt die Oberfläche?
Weiter unten berechnest du ja das Volumen?!
> Ich habe mir durchdacht, dass ich die Volumen von Zylinder
> und Kegel addieren muss und der Radius der beiden Objekte
> gleich ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]V_Z=r^2*\pi*h_z[/mm]
>
> [mm]V_K=\bruch{1}{3}*r^2*\pi*h_k[/mm]
>
> Ergibt die Gesamtfunktion:
>
> [mm]V(r)=(r^2*\pi*h_z)+(\bruch{1}{3}*r^2*\pi*h_k)[/mm]
>
> Bekannt ist ja: [mm]h_z=200[/mm]
>
> Da [mm]h_k[/mm] noch unbekannt ist, habe ich mir vorgestellt, dass
> man ein Dreieck in den Kegel einbeschreiben kann und man
> somit [mm]h_k[/mm] darstellen kann.
>
> Berechnung über den Pythagoras:
>
> s ist in meinem Fall die angegebene Mantelseitenlänge
>
> [mm]s^2=r^2+h_k^2[/mm]
>
> [mm]h_k= \wurzel{s^2-r^2}[/mm] -> [mm]h_k=\wurzel{36-r^2}[/mm]
>
> Diesen Wert setze ich dann in die obige Formel für [mm]h_k[/mm] ein
> und bekomme folgendes Ergebnis:
>
> [mm]V(r)=r^2*\pi*200+\bruch{1}{3}*r^2*\pi*\wurzel{36-r^2}[/mm]
>
> Mir ist klar, dass ich nun davon die erste Ableitung bilden
> muss, diese dann Null setzen um die Extrema zu bekommen,
> nur ich komme nicht weiter, wie ich da mit dieser Wurzen
> nach r ableiten soll?
>
> Kann bitte jemand da einmal darüber schauen, ob man das
> nicht vielleicht viel einfacher machen kann bzw. mir einen
> Tipp geben kann, wie man das berechnet? Wenn ich die
> Produktregel benutze, dann wird das ein ellenlanger Term.
>
> Vielen Dank, suburbia
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Sa 11.06.2005 | | Autor: | suburbia |
Vielen Dank für die nette Begrüßung und gleichzeitig eine Entschuldigung von mir. Ich meine natürlich das maximale Volumen!
Grüße von suburbia
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Hallo suburbia,
> Liebes Forum, ich hänge bei einer Aufgabe.
>
> Man hat einen Zylinder (Höhe 2m) und daran ist unten ein
> Kegel (Mantelseitenlänge 6cm) und man soll die Werte für
> den maximalen Flächeninhalt angeben.
>
> Ich habe mir durchdacht, dass ich die Volumen von Zylinder
> und Kegel addieren muss und der Radius der beiden Objekte
> gleich ist.
>
> [mm]V_Z=r^2*\pi*h_z[/mm]
>
> [mm]V_K=\bruch{1}{3}*r^2*\pi*h_k[/mm]
>
> Ergibt die Gesamtfunktion:
>
> [mm]V(r)=(r^2*\pi*h_z)+(\bruch{1}{3}*r^2*\pi*h_k)[/mm]
>
> Bekannt ist ja: [mm]h_z=200[/mm]
>
> Da [mm]h_k[/mm] noch unbekannt ist, habe ich mir vorgestellt, dass
> man ein Dreieck in den Kegel einbeschreiben kann und man
> somit [mm]h_k[/mm] darstellen kann.
>
> Berechnung über den Pythagoras:
>
> s ist in meinem Fall die angegebene Mantelseitenlänge
>
> [mm]s^2=r^2+h_k^2[/mm]
> [mm]h_k= \wurzel{s^2-r^2}[/mm] -> [mm]h_k=\wurzel{36-r^2}[/mm]
>
> Diesen Wert setze ich dann in die obige Formel für [mm]h_k[/mm] ein
> und bekomme folgendes Ergebnis:
>
> [mm]V(r)=r^2*\pi*200+\bruch{1}{3}*r^2*\pi*\wurzel{36-r^2}[/mm]
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> Mir ist klar, dass ich nun davon die erste Ableitung bilden
> muss, diese dann Null setzen um die Extrema zu bekommen,
> nur ich komme nicht weiter, wie ich da mit dieser Wurzen
> nach r ableiten soll?
>
> Kann bitte jemand da einmal darüber schauen, ob man das
> nicht vielleicht viel einfacher machen kann bzw. mir einen
> Tipp geben kann, wie man das berechnet? Wenn ich die
> Produktregel benutze, dann wird das ein ellenlanger Term.
>
Die Zielfunktion V(r) abzuleiten ist in der Tat seeeeeehr aufwändig mit Ketten- und Produktregel. Einfacher geht es wenn du als Zielfunktion [mm] V(h_k) [/mm] betrachtest:
[mm] V=(r^2\cdot{}\pi\cdot{}h_z)+(\bruch{1}{3}\cdot{}r^2\cdot{}\pi\cdot{}h_k) \gdw V=r^2*\pi*(h_z+\frac{1}{3}*h_k)[/mm]
$ [mm] s^2=r^2+h_k^2 \gdw r^2=s^2-h_k^2$
[/mm]
[mm] V(h_k)=(s^2-h_k^2)*\pi*(h_z+\frac{1}{3}*h_k) [/mm]
Den Term musst du jetzt nur noch ausklammern und erhällst eine kubische Funktion die sich problemlos ableiten, .... lässt.
Gruß Samuel
> Vielen Dank, suburbia
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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