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Forum "Schul-Analysis" - Maximaler Flächeninhalt
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Maximaler Flächeninhalt : Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Do 13.01.2005
Autor: signorerossi

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ich hänge grade an folgender Übungsaufgabe fest:

Gegeben ist die Funktion

f(x)= [mm] \bruch{1}{4} x^{3}- \bruch{3}{2} x^{2}+8[/mm]

und der Punkt N(-2|0).

Die Gerade mit der Gleichung  x = u mit u  [mm] \ge [/mm] 2  schneidet die x-Achse im Punkt P und die Kurve K im Punkt Q.
Für welches  u  [mm] \in [/mm] [ 2;4]   hat das Dreieck NPQ maximalen Flächeninhalt?

Ich komm leider nicht weiter. Könnte mir jemand bitte den Lösungsweg erklären?

Danke!!!!
        
Bezug
Maximaler Flächeninhalt : Ansätze
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Do 13.01.2005
Autor: Loddar

Hallo signorerossi,

auch Dir natürlich ein [willkommenmr] !!!

Scheinbar hast Du Dir unsere Forenregeln nicht durchgelesen, insbesondere den Punkt mit den eigenen Ideen und Lösungsansätzen ...
Und über eine nette Anrede freuen wir uns hier auch ;-) ...



> Gegeben ist die Funktion
> f(x)= [mm]\bruch{1}{4} x^{3}- \bruch{3}{2} x^{2}+8[/mm]
>  
> und der Punkt N(-2|0).
>  
> Die Gerade mit der Gleichung  x = u mit u  [mm]\ge[/mm] 2  schneidet
> die x-Achse im Punkt P und die Kurve K im Punkt Q.
> Für welches  u  [mm]\in[/mm] [ 2;4]   hat das Dreieck NPQ maximalen
> Flächeninhalt?

Naja, ein paar Hinweise kann ich Dir ja geben.

Gesucht ist ein Dreieck bzw. sein Flächeninhalt. Die Formel hierfür lautet ja: [mm] $A_{Dreieck} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * [mm] h_g$ [/mm]
Dabei ist $g$ die Grundseite, und [mm] $h_g$ [/mm] die Höhe auf $g$.

Unsere Grundseite $g$ besteht aus unserem gesuchten $u$ sowie der Strecke vom Ursprung bis zum Punkt N(-2 | 0); also: $g = u - (-2) = u+2$

Unsere Höhe [mm] $h_g$ [/mm] geht vom Punkt P( u | 0) bis zum Punkt Q( u | f(u)).
Es gilt also: [mm] $h_g [/mm] = f(u) - 0 = f(u)$.

Wenn ich das nun einsetze in unsere Flächenformel, erhalte ich eine Funktion $A(u)$, die nur noch von unserer gesuchten Größe $u$ abhängt.

Für diese Funktion $A(u)$ ist nun eine Extremalberechnung durchzuführen.
Kommst Du nun alleine weiter?


Bitte versuch das einmal und melde Dich nochmal mit Deinem Ergebnis ...

Grüße
Loddar

Bezug
        
Bezug
Maximaler Flächeninhalt : Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Do 13.01.2005
Autor: signorerossi

Danke für den Hinweis, die Definition und der Ansatz waren mir jedoch  klar.
Hab mich missverständlich  ausgedrückt.
Also nochmal zu meinem Problem:
Meine Lösung die ich herausbekomme stimmt nicht.
Ich hab irgendwo auf dem Lösungsweg nen Fehler drin und finde ihn nicht.

Bin mir deshalb nicht sicher ob meine Flächenformel soweit stimmt.
Sieht bei mir wie folgt aus:

f(u) =  [mm] u^{4} [/mm] - 4  [mm] u^{3} [/mm] -12 [mm] u^{2} [/mm] +32 u+ 64

Ich komme wenn ich die Extremwertberechnung durchführe auf ein Maximum an der Stelle u=4 und das kann irgendwie nicht stimmen.

Ich wäre froh wenn sich jemand mal die Flächenformel überprüfen könnte.
Das ich meinen Lösungweg überprüfen kann und meinen Stolperstein finde.
Danke !!!!

Bezug
                
Bezug
Maximaler Flächeninhalt : Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Do 13.01.2005
Autor: molekular

hallo signorerossi

also, mir scheint als hättest du schon die richtige zielfunktion, du mußt sie nur noch durch 8 teilen. Hast sie wohl vorher mit 8 erweitert um die brüche zu umgehen aber du veränderst die funktion wenn du sie in dem fall erweiterst.

--> [mm]A(x)=\bruch{x^4}{8}-\bruch{x^3}{2}-\bruch{3x^2}{2}+4x+8[/mm]

ich denke ab hier kommst du alleine weiter aber zur kontrolle schreibe ich dir den weiteren lösungsweg noch dazu

A'(-2)=0=TP von A(x)=N

A'(1)=0=HP von A(x)  

A'(4)=0=TP von A(x)=P


da x=1 aber außerhalb deines Definitionsbereichs liegt mußt du dich richtung x=2 bewegen.

A(2)=8




hoffe ich konnte behilflich sein und einen schönen tag noch
Bezug
                
Bezug
Maximaler Flächeninhalt : Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:05 Fr 14.01.2005
Autor: Loddar

Hallo signorerossi!

> Danke für den Hinweis, die Definition und der Ansatz waren
> mir jedoch  klar.
> Hab mich missverständlich  ausgedrückt.
> Also nochmal zu meinem Problem:
> Meine Lösung die ich herausbekomme stimmt nicht.
> Ich hab irgendwo auf dem Lösungsweg nen Fehler drin und
> finde ihn nicht.
>  
> Bin mir deshalb nicht sicher ob meine Flächenformel soweit
> stimmt.
>  
> Ich wäre froh wenn sich jemand mal die Flächenformel
> überprüfen könnte.
> Das ich meinen Lösungweg überprüfen kann und meinen
> Stolperstein finde.

Genau DAS ist mit den eigenen Lösungsansätzen gemeint.
So hätte ich das auch gleich überprüfen können ...

Also dann bitte beim nächsten mal [hand] ...


Loddar

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