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| Aufgabe | Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind zusammen 12 LE lang. Wie groß sind die Katheten x und y zu wählen, damit das Quadrat F über der Hypotenuse z möglichs klein wird? Wie groß ist das Hypotenusenquadrat dann?
(Die Grafik zeigt ein Quadrat mit F = [mm] z^2 [/mm] im Inhalt, darüber befindet sich direkt ein rechtwinkliges Dreieck, z liegt an dem Quadrat an. |
Hallo,
ich habe wieder einmal ein Problem in der Mathematik. Ich habe mir die Aufgabe angeschaut (Übungen für kommende Arbeit) und ich verstehe es mal wieder nicht.
Wir müssen erst Haupt- und Nebenbedingungen aufstellen, ausrechnen und durch die gewonnene Funktion Min/Max herausfinden. Das herausfinden von Min/Max ist kein Problem, jedoch der Weg davor ist für mich total unverständlich.
Meine Hauptbedingung ist: F = [mm] z^2 [/mm] (aus der mir vorhandenen Grafik auch ablesbar). Daraus schließt sich mir (Nebenbedingung) [mm] z^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2.
[/mm]
Nun weiß ich überhaupt nicht mehr weiter. Das dumme ist, dass dies die 2. Aufgabe ist und ich an dieser schon kapitulieren muss.
Wäre über eine Hilfe dankbar, damit ich die restlichen wenigstens halbwegs schaffe.
Freundliche Grüße (gibt es hier auch einen Spenden-Button?)
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Nicht verzweifeln, das hilft dir nicht und macht dich nur unnötig fertig. Stattdessen solltest du bei solchen Aufgaben IMMER noch einmal sehr gründlich die Aufgabenstellung dahingehend scannen, ob du ALLE Angaben verwendet hast.
Wenn du das tust, wird dir der Satz mit den 12 LE auffallen, der bei dir nicht auftaucht.
Die Katheten sollen nämlich zusammen 12 LE lang sein.
Mathematisch mit x und y bedeutet dies:
$ x+y=12 LE $
Desweiteren soll der Flächeninhalt A des Hypothenusenquadrates, wie du richtig geschrieben hast, minimal werden:
A (oder [mm] F)=z^2
[/mm]
Und weiter gilt der Pythagoras:
$ [mm] x^2+y^2=z^2=F [/mm] $
Das [mm] z^2 [/mm] brauchst du nicht beachten, sonst entsteht bei dir der Eindruck, du hättest es mit drei Variablen zu tun! Tatsächlich hast du jedoch nur zwei, nämlich x und y. Die Fläche z ergibt sich ja aus diesen beiden Größen!
Jetzt brauchst du nur die Nebenbedingung x+y=12 nach einer Variable umzustellen:
x=12-y
Und schon ergibt sich:
$ [mm] F=(12-y)^2+y^2 [/mm] $
Damit kannst du jetzt dein Minimum finden. Wie du siehst, war alles richtig, du hast einfach einen Teil der Angabe übersehen
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