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Hallo zusammen
Ich sollte folgende alte Prüfungsaufgabe lösen:
Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der Differentialgleichung
y'(x)=(1+x)(1-y)
und das maximale Lösungsintervall.
Die DGL zu lösen war nicht das Problem: [mm] y(x)=C*e^{x+0.5x^2}-1
[/mm]
Aber bei dem maximalen Lösungsintervall komme ich nicht weiter.
In den Übungen hatten wir mal ein Beispiel und die Assistentin hat gesagt, man sollte dies mit folgendem Satz lösen:
[mm] I_f, I_g \in \IR, [/mm] f: [mm] I_f \to \IR, [/mm] g: [mm] I_g \to \IR [/mm] stetig, [mm] g(y)\not= [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] y [mm] \in I_g.
[/mm]
[mm] F(x)=\integral{f(t) dt} [/mm] x [mm] \in I_f [/mm] & [mm] G(y)\integral{\bruch{1}{g(t)} dt} [/mm] y [mm] \in I_g
[/mm]
I Intervall mit [mm] F(I)\subseteq G(I_g), [/mm] dann ex. genau eine Lösung y: I [mm] \to \IR: [/mm] y'=f(x)g(y)
Kann mir jemand erklären wie ich mit diesem Satz auf das maximale Lösungsintervall kommen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 Di 26.08.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo zusammen
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> Ich sollte folgende alte Prüfungsaufgabe lösen:
> Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der
> Differentialgleichung
> y'(x)=(1+x)(1-y)
> und das maximale Lösungsintervall.
>
> Die DGL zu lösen war nicht das Problem:
> [mm]y(x)=C*e^{x+0.5x^2}-1[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm]y(x)=C*e^{-(x+0.5x^2)}+1[/mm]
RMix
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> Aber bei dem maximalen Lösungsintervall komme ich nicht
> weiter.
> In den Übungen hatten wir mal ein Beispiel und die
> Assistentin hat gesagt, man sollte dies mit folgendem Satz
> lösen:
> [mm]I_f, I_g \in \IR,[/mm] f: [mm]I_f \to \IR,[/mm] g: [mm]I_g \to \IR[/mm] stetig,
> [mm]g(y)\not=[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] y [mm]\in I_g.[/mm]
> [mm]F(x)=\integral{f(t) dt}[/mm] x
> [mm]\in I_f[/mm] & [mm]G(y)\integral{\bruch{1}{g(t)} dt}[/mm] y [mm]\in I_g[/mm]
> I
> Intervall mit [mm]F(I)\subseteq G(I_g),[/mm] dann ex. genau eine
> Lösung y: I [mm]\to \IR:[/mm] y'=f(x)g(y)
>
> Kann mir jemand erklären wie ich mit diesem Satz auf das
> maximale Lösungsintervall kommen kann?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:28 Di 26.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen
>
> Ich sollte folgende alte Prüfungsaufgabe lösen:
> Bestimmen Sie die allgemeine Form der Lösung der
> Differentialgleichung
> y'(x)=(1+x)(1-y)
> und das maximale Lösungsintervall.
>
> Die DGL zu lösen war nicht das Problem:
> [mm]y(x)=C*e^{x+0.5x^2}-1[/mm]
>
> Aber bei dem maximalen Lösungsintervall komme ich nicht
> weiter.
> In den Übungen hatten wir mal ein Beispiel und die
> Assistentin hat gesagt, man sollte dies mit folgendem Satz
> lösen:
> [mm]I_f, I_g \in \IR,[/mm] f: [mm]I_f \to \IR,[/mm] g: [mm]I_g \to \IR[/mm] stetig,
> [mm]g(y)\not=[/mm] 0 [mm]\forall[/mm] y [mm]\in I_g.[/mm]
> [mm]F(x)=\integral{f(t) dt}[/mm] x
> [mm]\in I_f[/mm] & [mm]G(y)\integral{\bruch{1}{g(t)} dt}[/mm] y [mm]\in I_g[/mm]
> I
> Intervall mit [mm]F(I)\subseteq G(I_g),[/mm] dann ex. genau eine
> Lösung y: I [mm]\to \IR:[/mm] y'=f(x)g(y)
>
> Kann mir jemand erklären wie ich mit diesem Satz auf das
> maximale Lösungsintervall kommen kann?
naja, wenn [mm] $J\,$ [/mm] ein Intervall mit
$F(J) [mm] \subseteq G(I_g)$
[/mm]
und $I [mm] \subsetneqq [/mm] J$ ist, dann ist doch [mm] $I\,$ [/mm] nicht maximal gewesen und kann durch
(das größere Intervall) [mm] $J\,$ [/mm] ersetzt werden. Dass man dann aber am Ende
"fertig wird", ist nur mit dem, was in dem Satz gesagt wird, aber noch nicht
klar. Er sagt ja nur etwas darüber aus, dass man durch Überprüfen einer
Bedingung evtl. das Lösungsintervall vergößern kann. Er sagt aber nichts darüber
aus, dass, wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, man das Lösungsintervall
dann nicht eventuell doch noch vergrößern könnte.
(D.h. aus $I [mm] \subsetneqq [/mm] J$ und $F(J) [mm] \subseteq G(I_g)$ [/mm] folgt, dass man [mm] $I\,$ [/mm] durch [mm] $J\,$ [/mm] ersetzen kann.
Aus $I [mm] \subsetneqq [/mm] J$ und $F(J) [mm] \not\subseteq G(I_g)$ [/mm] folgt aber nicht, dass man nicht doch [mm] $I\,$ [/mm] durch [mm] $J\,$ [/mm] ersetzen
könnte... jedenfalls beinhaltet dieser Satz das nicht!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:11 Mi 27.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Rmix hat Dir schon gesagt, dass Deine Lösung nicht stimmt und die allgemeine Lösung der DGL so lautet:
$ [mm] y(x)=C\cdot{}e^{-(x+0.5x^2)}+1 [/mm] $ ($C [mm] \in \IR$ [/mm] )
Jede Funktion der Form $ [mm] y(x)=C\cdot{}e^{-(x+0.5x^2)}+1 [/mm] $ löst die DGL auf ganz [mm] \IR [/mm] !
Was ist also das maximale Lösungsintervall ???
Dazu braucht man keinen Satz und keinen Assistenten.
FRED
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