Maximales Sechseck im Quadrat < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 So 03.05.2009 | | Autor: | summ |
| Aufgabe | | Falten Sie ein Sechseck in ein Quadrat so, dass dieses das größtmöglichste ist. Beweisen Sie, dass jedes andere Sechseck einen kleineren Flächeninhalt hätte, also Ihr Hexagon das Maximalste ist. |
Ich habe schon das größtmöglichste Hexagon in ein beliebig großes Quadrat gefaltet. Dabei liegen 2 Ecken auf der Diagonalen des Quadrates. Ansonsten befindet sich auf jeder Kante noch eine weitere Ecke vom Hexagon.
Leider weiß ich nicht so recht, wie ich beweisen soll, dass das das größtmöglichste Sechseck ist (mithilfe Extremalproblem).
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf andere Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Falten Sie ein Sechseck in ein Quadrat so, dass dieses das
> größtmöglichste ist. Beweisen Sie, dass jedes andere
> Sechseck einen kleineren Flächeninhalt hätte, also Ihr
> Hexagon das Maximalste ist.
Lautet die Aufgabe wirklich so?
oder sollst du ein Quadrat nehmen, daraus ein Sechseck herstellen, indem du irgendwie Ecken faltest?
> Ich habe schon das größtmöglichste Hexagon in ein beliebig
> großes Quadrat gefaltet. Dabei liegen 2 Ecken auf der
> Diagonalen des Quadrates. Ansonsten befindet sich auf jeder
> Kante noch eine weitere Ecke vom Hexagon.
Ich kann mir deine Faltung schlecht vorstellen. heisst es ueber einer Diagonalen liegt ein Trapez? nach jeder Seite?
warum denkst du, dass es das groesste ist?
statt das groesste zu suchen, kannst du natuerlich auch den kleinsten "Abfall" ausrechnen.
andere methode, man verschiet einen Punkt etwas, und zeigt, dass dann die Flaeche kleiner wird.
kannst du ne Zeichnung als jpg oder png reinstellen?
ich kann beliebig grosse 6 Ecke hinkriegen, indem ich f und E immer weiter nach aussen schiebe. also fehlt da noch ne Bedingung?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:52 Mo 04.05.2009 | | Autor: | summ |
Hallo,
ja due Aufgabe heiß wirklich so. Ich habe jedoch etwas wichtiges vergessen zu erwähnen-sry, also es soll sich um ein gleichseitiges sechseck handeln!!!
Ich habe von dem Seminarleiter eine Vorfaltung erhalten, also handelt es sich auf alle Fälle schon um das Größtmöglichste. Nun brauche ich nur noch den Beweis, dass es so ist. Da es ein gleichseitiges Hexagon ist, setzt sich es also aus 6 gleichseitigen Dreicken zusammen. Die Höhe h kann ich ja in Abhängigkeit von der Seitenlänge a darstellen. Wichtig ist, ich habe keine genauen Werte gegeben.
Ich hoffe auf weitere Hilfe.
Vielen Dank für jede Antwort...
Sarah
http://www.faltgeometrie.ch/kategorie1/seite6/032b0798a30c2eb18/index.html
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> Falten Sie ein Sechseck in ein Quadrat so, dass dieses das
> größtmöglichste ist. Beweisen Sie, dass jedes andere
> Sechseck einen kleineren Flächeninhalt hätte, also Ihr
> Hexagon das Maximalste ist.
> Ich habe schon das größtmöglichste Hexagon in ein beliebig
> großes Quadrat gefaltet. Dabei liegen 2 Ecken auf der
> Diagonalen des Quadrates. Ansonsten befindet sich auf jeder
> Kante noch eine weitere Ecke vom Hexagon.
>
> Leider weiß ich nicht so recht, wie ich beweisen soll, dass
> das das größtmöglichste Sechseck ist (mithilfe
> Extremalproblem).
Hallo Sarah,
Diese Aufgabenstellung passt nicht so recht mit dem
zusammen, was auf der Webseite zur Faltgeometrie zu
lesen und zu sehen ist. Beim Faltprozess geht man
ja von einem quadratischen Blatt aus, welches so
gefaltet wird, dass am Schluss, in dem wieder aufge-
falteten Blatt, ein regelmässiges (und nicht bloss
gleichseitiges !) Sechseck in den Faltlinien erscheint.
Dieses Sechseck ist dann allerdings "im Quadrat", es
ist ihm "einbeschrieben", so dass vier seiner Ecken
auf Quadratseiten liegen.
Kleine sprachliche Bemerkung: das "Maximalste" ist
unsinnig, denn maximaler als maximal geht nicht.
Ebenso ist das "Grösstmöglichste" sprachlich falsch.
Es heisst entweder das Grösste oder das Grösstmögliche.
Nun zum Beweis der Maximalität: Natürlich müssen
möglichst viele Ecken des Sechsecks auf dem Rand
des Quadrates liegen. Man kann auch leicht zeigen,
dass es nicht möglich ist, mehr als 4 Ecken auf den
Rand zu legen. Ferner ist klar, dass der Mittelpunkt
des Sechsecks mit dem Quadratmittelpunkt überein-
stimmen muss. Einzige Möglichkeit, ein noch grösseres
als das vorliegende Sechseck zu erhalten, wäre also
eine Drehung um den Mittelpunkt, verbunden mit
einer Streckung.
Bezeichnen wir die Ecken des Quadrates der Reihe
nach mit A,B,C,D und die des Sechsecks mit P (auf
der Strecke [AB]), Q (auf der Diagonalen [BD]),
R (auf [BC]),S,T,U. M sei der Mittelpunkt. Betrachten
wir einmal die Strecke [MP], die dem Umkreisradius
des Sechsecks entspricht. Um ein grösseres Sechseck
zu erhalten, müsste diese Strecke wachsen. Das könnte
man erreichen, wenn man den Punkt P etwas näher
an A heran rücken würde. Bei der entsprechenden
Drehung und Streckung des Sechsecks würde aber
der Punkt U das Quadrat verlassen, was nicht
erlaubt ist. Beim vorliegenden Sechseck sind [MP]
und [MU] gleich lang. Eine Verlängerung der einen
müsste mit einer Verkürzung der anderen erkauft
werden, was die Symmetrie des Sechsecks zerstören
würde. Deshalb ist das vorliegende regelmässige
Sechseck das grösste, das in das Quadrat passt.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:41 Mo 04.05.2009 | | Autor: | summ |
Hallo,
danke für deinen Eintrag. Ja, vielleicht habe ich mich nicht richtig ausgedrückt. Ich dachte es war so halwegs verständlich meine Erklärung, aber anscheinend nicht so richtig. Trotzdem danke, dass du mich darauf hingewiesen hast.
Deine Argumentation war sehr gut. Aber meinem Seminarleiter wird damit sicherlich nicht zufrieden sein. Er will diese Aufgabe über das Extremalproblem gelöst haben.
Ich habe jetzt einen anderen Ansatz versucht. Bin aber mit dem Beweis noch nicht ganz fertig.
Ich habe die Fläche in Abhängigkeit des Winkels Theta, welcher sich an der Ecke, welche die untere Kante DC berührt, dargestellt.
Damit ergibt sich eine Fläche A=f(theta)=3srqt3/8 mal 1/cos²theta
Nun muss ich das theoretisch nur noch ableiten und dann Null setzen und das maximales Theta zu finden.
Jetzt hänge ich gerade beim Nullsetzen....
Vielen Dank für die Antworten...
Liebe Grüße, summ
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mo 04.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein regelmaesiges Sechseck liegt immer in einem Kreis. deshalb liegt das Sechseck im greosstmoeglichen Kreis, den man dem Quadrat einbeschreiben kann.
damit liegen die Seiten mit Laenge des Radius fest. du kannst, wenn du den kreis eingezeichnet hast, das Sechseck darin beliebig drehen (dann natuerlich nicht durch Falten erzeugen.
D.h. es gibt nicht nur eine lage fuer das Rechteck. deshalb eiss ich auch nicht, wie du mit dem Winkel ein kleineres finden willst.
Ich denke nicht, dass das ne Aufgabe ist, die man mit Differentialrechnung loesen sollte. Die faltvorschlaege gelten fuer Klasse 5/6 mit denen kann man schon besprechen, dass es kein groesseres gleichsietiges gibt, ohne Differentialrechnung. du musst also nur zeigen, dass das gefaltete eines ist , das im Inkreis des Quadrates sitzt.
Gruss leduart
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> Hallo
> Ein regelmässiges Sechseck liegt immer in einem Kreis.
> deshalb liegt das Sechseck im grösstmoeglichen Kreis, den
> man dem Quadrat einbeschreiben kann.
Hallo leduart,
dies stimmt offensichtlich nicht, denn der Umkreis des
regelmässigen Sechsecks, das vier Ecken auf Quadrat-
seiten und zwei auf einer Quadratdiagonalen hat, hat
einen Radius, der grösser als [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist. Deshalb liegt der
Umkreis des grössten regelmässigen Sechsecks, das noch
in das Quadrat passt, nicht ganz innerhalb des Quadrates !
(Quadratseitenlänge = 1 gesetzt).
An Sarah:
Natürlich ist es möglich, die Argumente, die ich in
meinem früheren Post angegeben habe, in eine
"standardgemässe" Extremwertrechnung umzusetzen.
Eine Notwendigkeit dazu sehe ich allerdings nicht,
denn die resultierenden rechnerischen Argumente
sind kein bisschen besser, exakter oder "mathema-
tischer" als das, was ich schon angeboten habe.
LG Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Di 05.05.2009 | | Autor: | summ |
Hallo,
ansich hast du vollkommen recht und ich danke für die ausführliche Erklärung am Anfang, aber mein Leiter ist davon sicherlich nicht so gebeistert.
Also ich wäre dir sehr verbunden, wenn wir trotzdem probieren würden das über eine Extremwertaufgabe zu probieren.
Wie die Fläche A aussieht bzw. auch als f(theta) schreibbar hatte ich schon in einer vorherigen mail geschrieben.
Nun muss ich davon ja die erste Ableitung bilden und dies Null setzen um ein Theta, was hoffentlich maximal ist herauszubekommen.
Beim Nullsetzen hänge ich wie gesagt...
Vielleicht könnte mir da jmd nochmal helfen....
Viele liebe Grüße,
summ
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> Wie die Fläche A aussieht bzw. auch als f(theta) schreibbar
> hatte ich schon in einer vorherigen mail geschrieben:
>> Ich habe die Fläche in Abhängigkeit des Winkels Theta,
>> welcher sich an der Ecke, welche die untere Kante DC
>> berührt, dargestellt.
>> Damit ergibt sich eine Fläche A=f(theta)=3srqt3/8 mal 1/cos²theta
>> Nun muss ich das theoretisch nur noch ableiten und dann
>> Null setzen und das maximale Theta zu finden.
Guten Tag Sarah,
so ganz genau sehe ich zwar nicht, wie du zu deiner
Formel gekommen bist, aber ich bekomme eine
ähnliche Formel der Form
$\ A\ =\ [mm] C*\bruch{1}{cos^2(\alpha)}$
[/mm]
mit einem Winkel, der beim Mittelpunkt M gemessen
wird. Der Wert, der für [mm] \alpha [/mm] herauskommen sollte, ist
[mm] \alpha=15°. [/mm] Jedoch ist an dieser Stelle die Ableitung
keineswegs gleich Null. Wenn du also die Aufgabe
als Extremwertaufgabe rechnerisch durchführen
willst, kommst du mit der Idee "Ableitung gleich Null
setzen" ohnehin nicht durch. Man kommt mit anderen
Worten auf ein "Randextremum".
Für meinen Winkel [mm] \alpha [/mm] komme ich aus der Forderung,
dass keine Ecke des Sechsecks das Quadrat verlassen
darf, auf eine zu erfüllende Ungleichung
[mm] $\bruch{sin(60°+\alpha)}{cos(\alpha)}\ \le\ [/mm] 1$
welche man zu
$\ [mm] tan(\alpha)\ \le\ 2-\sqrt{3}$
[/mm]
umformen kann. Auf den Winkel [mm] \alpha=15° [/mm] kommt man dann,
wenn man die entsprechende Gleichung
$\ [mm] tan(\alpha)\ [/mm] =\ [mm] 2-\sqrt{3}$
[/mm]
löst.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mi 06.05.2009 | | Autor: | summ |
Hallo,
danke für deine Antwort, ohne dich/euch wäre ich echt aufgeschmissen.
trotzdem habe ich wieder eine Frage 
welchen winkel alpha meinst du damit? ich will nur sichergehen das wir den selben meinen...
wenn du einen winkel im mittelpunkt misst, dann müsste der doch eher 60° sein, da es sich um gleichseitige dreicke jeweils handelt und jeder innenwinkel 60 ° beträgt.
warum darf ich die ableitung nicht null setzen, wäre doch der logischste ansatz um einen extremwert zu bestimmen!?
zudem würde es mich sehr freuen, wenn ich noch eine ausführliche erklärung zu der formel sin(60°+alpha)/cos alpha kleiner/gleich 1 komme.
ich sehe das irgendwo noch nicht ganz....
aber irgendwie kommt mir die auch bekannt vor...
und wir ich die dann zu tan umstelle....
danach klappt es schon...
wäre dir echt dankbar für den antwort....
liebe grüße...
sarah
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> Hallo,
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> danke für deine Antwort, ohne dich/euch wäre ich echt
> aufgeschmissen.
> trotzdem habe ich wieder eine Frage
>
> welchen winkel alpha meinst du damit? ich will nur
> sichergehen das wir den selben meinen...
>
> wenn du einen winkel im mittelpunkt misst, dann müsste der
> doch eher 60° sein, da es sich um gleichseitige dreicke
> jeweils handelt und jeder innenwinkel 60 ° beträgt.
>
> warum darf ich die ableitung nicht null setzen, wäre doch
> der logischste ansatz um einen extremwert zu bestimmen!?
>
> zudem würde es mich sehr freuen, wenn ich noch eine
> ausführliche erklärung zu der formel sin(60°+alpha)/cos
> alpha kleiner/gleich 1 komme.
> ich sehe das irgendwo noch nicht ganz....
> aber irgendwie kommt mir die auch bekannt vor...
>
> und wir ich die dann zu tan umstelle....
>
> danach klappt es schon...
>
> wäre dir echt dankbar für den antwort....
>
> liebe grüße...
> sarah
Guten Abend Sarah,
ich glaube schon, dass wir im Prinzip denselben
Winkel meinen. Meine Bezeichnungen sind so:
Quadratecken A unten links, B unten rechts,
C oben rechts, D oben links. M sei der Mittelpunkt
von Quadrat und Sechseck. Z sei der Mittelpunkt
der Quadratseite [AB]. P sei der auf [AB] liegende
Eckpunkt des Secksecks PQRST, das den gleichen
Umlaufssinn wie das Quadrat ABCD haben soll,
also gegen den Uhrzeigersinn. P ist sicher nicht der
Mittelpunkt Z der Strecke [AB], denn dann wäre das
Sechseck bestimmt noch vergrösserungsfähig.
Wir dürfen dann z.B. annehmen, dass P zwischen
A und Z liegt. Nehmen wir noch an, dass die
Quadratseite die Länge 2 habe, also |[AZ]|=|[ZM]|=1
und die Seitenlänge des regelmässigen Sechsecks
mit s bezeichnet sei sowie der Winkel [mm] \angle [/mm] PMZ mit
[mm] \alpha, [/mm] dann ergibt sich die Gleichung
[mm] cos(\alpha)=\bruch{|[MZ]|}{|[MP]|}=\bruch{1}{s}
[/mm]
oder anders ausgedrückt
[mm] s=\bruch{1}{cos(\alpha)}
[/mm]
Nun ist es nicht schwer, den Flächeninhalt A des
regelmässigen Sechsecks durch s oder auch durch [mm] \alpha
[/mm]
auszudrücken. Der Winkel [mm] \alpha [/mm] kann nun im Prinzip noch
zwischen 0° und 45° variieren. In diesem Intervall ist
aber die Funktion [mm] A(\alpha) [/mm] monoton wachsend.
Um die "Grenze des Wachstums" festzustellen,
muss man das gleichseitige Dreieck PMU betrachten.
Der Punkt U darf nicht links von der Quadratseite [AD]
liegen. Seine x-Koordinate ist [mm] x_U=x_M-|[UM]|*sin(\angle [/mm] ZMU)
[mm] =x_M-s*sin(60°+\alpha), [/mm] und es muss gelten [mm] x_U\ge x_M-1.
[/mm]
Das könnte man ev. etwas einfacher notieren, doch
ich hoffe, dass du das Wesentliche an der Über-
legung mitbekommen hast.
LG und ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]") !
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Do 07.05.2009 | | Autor: | summ |
Hallo,
den Anfang verstehe ich sehr gut und kann ich nach deinen Erklärungen gut nachvollziehen.
Nur beim Ende habert es wieder :-(
Woher bist du auf die Formel von der Berechnung der x-Koordinate von U gekommen, gibt es da irgendeinen Satz oder so? Hatte da so meine Schwierigkeiten.
Und meine 2. Frage, inwieweit hat das dann mit deiner schon vorherigen Gleichung sin(60°-alpha)/cos(alpha) zu tun?
Tut mir leid, wenn ich dich wieder mit solchen wahrscheinlich einleuchtenden Fragen quäle, aber ich will das alles genau hinterfragen und auch Stück für Stück verstehen.
Muss das ja dann auch schließlich erklären können.
Viele liebe Grüße,
summ
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> Hallo,
>
> den Anfang verstehe ich sehr gut und kann ich nach deinen
> Erklärungen gut nachvollziehen.
> Nur beim Ende hapert es wieder :-(
> Woher bist du auf die Formel von der Berechnung der
> x-Koordinate von U gekommen, gibt es da irgendeinen Satz
> oder so? Hatte da so meine Schwierigkeiten.
>
> Und meine 2. Frage, inwieweit hat das dann mit deiner schon
> vorherigen Gleichung sin(60°-alpha)/cos(alpha) zu tun?
>
> Tut mir leid, wenn ich dich wieder mit solchen
> wahrscheinlich einleuchtenden Fragen quäle, aber ich will
> das alles genau hinterfragen und auch Stück für Stück
> verstehen.
> Muss das ja dann auch schließlich erklären können.
>
> Viele liebe Grüße,
>
> summ
Guten Tag !
U sei der Punkt, welcher die Strecke [PM] zum gleich-
seitigen Dreieck PMU ergänzt. Ferner sei F der Fuss-
punkt des Lotes von U auf ZM und
[mm] \beta:=\angle [/mm] UMZ
Dann ist [mm] $\beta=\angle PMZ+\angle [/mm] UMP [mm] =\alpha+60°$
[/mm]
und [mm] |[UF]|=|[UM]|*sin(\beta)=s*sin(\alpha+60°)
[/mm]
Diese Strecke |[UF]| darf nicht länger als 1 werden, da
sonst der Punkt U ausserhalb des Quadrates zu liegen käme.
Daher die Ungleichung
$\ [mm] s*sin(\alpha+60°)\le [/mm] 1$
in welche wir noch [mm] s=\bruch{1}{cos(\alpha)} [/mm] einsetzen können. Auf den
Term [mm] sin(\alpha+60°) [/mm] kann man das Sinus-Additionstheorem
anwenden und die exakten Werte für $\ sin(60°)$ und $\ cos(60°)$
einsetzen.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Do 07.05.2009 | | Autor: | summ |
Hallo,
hiermit wollte ich mich nochmal für die ausfführliche Antwort bedanken.
Vielen vielen Dank.
Liebe Grüße,
Summ
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