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Maximalwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:12 Fr 15.12.2006
Autor: Sebastian-

Aufgabe
Die Punkte O(0/0), P(u/0), [mm] Q(u/f_{a}(u)) [/mm] und [mm] R(0/f_{a}(u)) [/mm] u>0 sind Eckpunkte eines Rechtecks. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes Q so, dass der Flächeninhalt dieses Rechtecks maximal wird.

Funktion: [mm] f_{a}(x)= x*e^{-ax} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Ableitungen:

[mm] f_{a}(x)=e^{-ax} [/mm] * (1-ax)
[mm] f_{a}(x)=e^{-ax} [/mm] * [mm] (-2a+a^{2}x) [/mm]
[mm] f_{a}(x)=e^{-ax} [/mm] * [mm] (3a^{2}-a^{3}x) [/mm]

Kann mir die BITTE jemand Vorrechnen. Wir haben die in der Klausur gehabt und ich saß dort 1 Stunde an der Aufgabe und nix kam bei raus.........


vielen Dank!

        
Bezug
Maximalwert bestimmen: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Fr 15.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Sebastian!


Am hilfreichsten ist fast immer eine Skizze im Vorfeld ...


Wie wird denn der Flächeninhalt eines Rechteckes beschrieben?

[mm] $A_{\text{Rechteck}} [/mm] \ = \ b*h$


Die Breite wird ja nun genau vorgegeben durch den Abstand vom Nullpunkt zur Stelle $x \ = \ u$ auf der x-Achse:  $b \ = \ u-0 \ =\ [mm] \red{u}$ [/mm]

Die Höhe ergibt sich durch den Abstand des Punktes $Q \ [mm] \left( \ u \ | \ f_a(u) \ \right)$ [/mm] zur x-Achse:  $h \ = \ [mm] f_a(u)-0 [/mm] \ = \ [mm] \blue{u*e^{-a*u}}$ [/mm]


Setzen wir dies nun in die Flächenformel ein, erhalten wir unsere Zielfunktion:

$A(u) \ = \ [mm] \red{u}*\blue{u*e^{-a*u}} [/mm] \ = \ [mm] u^2*e^{-a*u}$ [/mm]

Für diese Funktion ist nun eine Extremwertberechnung (Nullstellen der 1. Ableitung usw.) durchzuführen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Maximalwert bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 Fr 15.12.2006
Autor: Sebastian-

heißt es jetzt bei den Ableitungen f(x) oder f(u) ?

f(?) = [mm] u^2\cdot{}e^{-a\cdot{}u} [/mm]

[mm] e^{-a\cdot{}u} [/mm] + [mm] u^2\cdot -a\cdot e^{-a\cdot{}u} [/mm] = [mm] e^{-a\cdot{}u} \cdot (1+u^2-a) [/mm]

etwa So?

thx :)


Bezug
                        
Bezug
Maximalwert bestimmen: Produktregel
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:00 Fr 15.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Sebastian!


> heißt es jetzt bei den Ableitungen f(x) oder f(u) ?

Unsere (gesuchte) Variable heißt nun $u_$ ... wenn es Dir aber leichter fällt, darfst Du das auch gerne umbenennen in $x_$ :

[mm] $A_a(x) [/mm] \ = \ [mm] x^2*e^{-a*x}$ [/mm]

  

> f(?) = [mm]u^2\cdot{}e^{-a\cdot{}u}[/mm]
>
> [mm]e^{-a\cdot{}u}[/mm] + [mm]u^2\cdot -a\cdot e^{-a\cdot{}u}[/mm] = [mm]e^{-a\cdot{}u} \cdot (1+u^2-a)[/mm]

[notok] Du musst hier mit der MBProduktregel vorgehen.

Dabei nehmen wir nun die $x_$-Benennung (das ist ja wirklich zu verwirrend hier ...):

$u \ = \ [mm] x^2$ $\Rightarrow$ [/mm]    $u' \ =\ 2x$

$v \ = \ [mm] e^{-a*x}$ $\Rightarrow$ [/mm]     $v' \ = \ [mm] -a*e^{-a*x}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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