Maximierung eines Quaders < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 4,8m und einer Breite von 8m. In ihm soll ein möglichst großes quaderförmiges Zimmer eingerichtet werden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also....
1.weiß ich nicht genau, ob mit der Höhe die von der Pyramide(Dachboden) oder nur die vom Querschnitt gemeint ist ? (meine aber die des Dachbodens)
2.nehme ich an das die Grundfläche der Pyramide ein Quadrat ist, weil ja die Seiten alle gleichschenklig sind, also ist der Flächeninhalt für die Grundfläche Ag = 8² ,stimmt das?
dann hab ich noch die Formel die maximiert werden muss : V= a³
und die Formel für das Volumen des Dachbodens : V1= 1/3* Ag* h
also wenn wir annehmen das 1. und 2. richtig sind dann müsste
V1= 1/3*64*4.8=102.399999
muss das Ergebniss jetzt in V eingesetzt werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Mi 22.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Die Aufgabe ist unklar formuliert...
- Ist der Dachboden eine Pyramide, oder - wie ich vermute - ein Zylinder?
- Falls er ein Zylinder ist - Welche Tiefe hat dieser?
In jedem Fall darfst du nicht einfach das Volumen berechnen und auf a³ zurückrechnen... Dann hättest du einen Quader, der genauso viel Volumen hat wie die Pyramide - Das heisst aber nicht, dass er auch in diese rein passt!
Oli
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aber wenn doch der Querschnitt des Dachbodens ein gleichschenkliges Dreieck ist..wie soll das Ganze (Querschnitt+Querschnitt) ein Zylinder sein.
und das Volumen meiner Pyramide ist doch meine Nebenbedingung die ich dann in die Zielfunktion ( A=a³) einsetzen muss um eine Variable zu eleminieren oder bin ich da ganz falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Do 23.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Wieso soll man aus zwei Dreiecken keinen Zylinder bauen können?
Und du musst bedenken, dass V_Quader<V_Dachboden !
Also geht V_Dachboden=a³ hier leider nicht...
Hast du denn meine Lösung verstanden? Das hat aber erst dann was mit "Analysis > Differenzialrechnung" zu tun, wenn man das maximal mögliche Volumen eines Körpers mit der Ableitung bestimmt... Da hier x=y gegeben ist, kannst du das normal einfach mit meiner Rechnung machen... Hast du denn die Lösung? x=3 sollt eigentlich stimmen.
Oli
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mi 22.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Zumindestens die Grundfläche ist jedoch erstmal gleich.
Also stell dir erstmal das Dreieck vor - Dort muss jetzt ein Quadrat rein - Nennen wir die Höhe davon x und die Breite davon y.
Wenn x=4,8 ist, ist y=0
Wenn x=0 ist, ist y=8
Daraus kannst du jetzt diese Formel herleiten:
y=(4,8-x)*5/3
Da x=y sein muss (Quadrat):
x=(4,8-x)*5/3
<=> x=3
Also ist x=3 die Seitenlänge jenes Quadrats. Da du ein Quader willst, muss V also x³ sein - 27VE.
Das sollte so eigentlich stimmen, korrigiert mich, wenn ich falsch liege oder wenn es auch leichter geht!
Oli
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ich versteh nicht ganz wie du auf die 5/3 kommst, weil wenn du die Punkte P(0/4.8) und P1(8/0) hast dann ist die steigung doch -0.6
d.h. f(x)=-0.6x+4.8
und f(x) dann in V=a³ für a einsetzen dann Ableitung bilden und Nullpunkt errechnen oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Do 23.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Da musst du nichtmal ne Geradengleichung für aufstellen:
Wenn x=4,8 ist, ist y=0
Wenn x=0 ist, ist y=8
Also: y=(4,8-x)*b da bei x=4,8 y=0 sein muss
Einsetzen: 8=4,8b <=> b=5/3
Es folgt: y=(4,8-x)*5/3
Würdest du das jetzt für a einsetzen, würde das ja keinen Sinn machen, da du da lediglich ein immer größer werdendes Volumen erhalten würdest und für R+ auch keine Nullstellen...
Dies macht höchstens Sinn, wenn du A als (4,8-x)*5/3*x definierst (A in Abhängigkeit von x) und dann V als A*x... Allerdings braucht das alles nicht sein, wenn der Körper ein Quader sein soll, da dann ja sowieso x=y gilt, woraus x=3 folgt und somit A=9... Über die Tiefe des Dachbodens wird ja nichts gesagt, wenn diese tief genug für diesen Quader ist, ist die Lösung V=x³=27VE.
Oli
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ich versteh immernoch nicht ganz wie du auf y=(4,8-x)*b kommst
und vor allem woher das b plötzlich kommt und für was es steht?...
weiter, ist ein quader doch ein 3D Rechteck also wieso x(höhe)=y(länge)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Fr 24.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Ich bin jetzt von einem Würfel ausgegangen... Du kennst doch die Tiefe garnicht, wie sollst du dann ein Quader konstruieren?
Für die Grundfläche gilt dann aber schonmal A=(4,8-x)*5/3*x=8x-5/3x²
Da kannst du ja schonmal die maximal mögliche Fläche konstruieren mit der ersten Ableitung. Diese Fläche mal der Tiefe ist dann das größtmögliche Volumen.
Das b ist nur vorübergehend da - Es gilt ja, aus zwei Bedingungen eine Formel für y zu erstellen. Da bei x=4,8 y=0 sein muss, muss die Klammer bei x=4,8 0 ergeben. Also: y=(4,8-x). Nun fehlt hier aber noch der Faktor hinter der Klammer, da sich sonst für x=0 y=4,8 ergibt - Wir wollen aber y=8!
Oli
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Hallo hannah123!
> Ein Dachboden hat als Querschnittsfläche ein
> gleichschenkliges Dreieck mit einer Höhe von 4,8m und einer
> Breite von 8m. In ihm soll ein möglichst großes
> quaderförmiges Zimmer eingerichtet werden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> also....
> 1.weiß ich nicht genau, ob mit der Höhe die von der
> Pyramide(Dachboden) oder nur die vom Querschnitt gemeint
> ist ? (meine aber die des Dachbodens)
> 2.nehme ich an das die Grundfläche der Pyramide ein
> Quadrat ist, weil ja die Seiten alle gleichschenklig sind,
> also ist der Flächeninhalt für die Grundfläche Ag = 8²
> ,stimmt das?
Also entweder habe ich zu so später Stunde mal wieder ein Brett vor dem Kopf ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]") oder du machst da etwas falsch... Wo steht denn da etwas von einer Pyramide??? Ich sehe das Ganze einfach so, dass du in ein Dreieck ein möglichst großes Rechteck reinschreiben sollst - denn die "Tiefe" des Raumes ergibt sich ja aus der "Tiefe" des Dachbodens, und die hast du nicht gegeben (du hast nur die "Breite" und die "Höhe" des Dachbodens gegeben).
Damit reduziert sich dein Problem auf ein zweimdimensionales, und evtl. hilft dir diese Aufgabe dabei (sieh dir auch mal meine Antwort an - ist ne etwas andere Aufgabe, aber könnte ähnlich sein). Ansonsten hilft dir vielleicht auch noch diese Aufgabe hier (die erste), wenn du dort statt der gegebenen Funktion eine Funktion für dein "Dach" nimmst (also eine simple lineare Funktion), sollte das eigentlich genauso gehen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Do 23.08.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Hannah und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schau mal bitte hier nach, da ist genau dieselbe Aufgabe schonmal gerechnet worden.
Evtl hilft auch diese Diskussion über diese Aufgabe.
Bei beiden brauchst du keinerlei lineare Funktion aufzustellen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:47 Fr 24.08.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo M.Rex!
> Schau mal bitte
> hier nach, da ist
> genau dieselbe Aufgabe schonmal gerechnet worden.
>
> Evtl hilft auch
> diese Diskussion
> über diese Aufgabe.
Aber dann ist doch der Ansatz, der hier bisher gemacht wurde, totaler Blödsinn, oder? Ich habe das jedenfalls so verstanden, wie du in deinen Zeichnungen da und bin der Meinung, dass hier bisher etwas ganz anderes diskutiert wurde...
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Fr 24.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Nö, Blödsinn ist das keineswegs, ich habe nur nicht explizit die Strahlensätze erwähnt. Im Post https://vorhilfe.de/read?i=172750 kommt M.Rex auf dieselbe Funktion A(x) bzw. A(a) wie ich in meiner letzten Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 Fr 24.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Seine Idee war, dass der Dachboden eine Pyramide sei. Dann habe ich ihn darauf hingewiesen, dass der Dachboden ein Zylinder ist - Grundriss mal Tiefe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:18 Fr 24.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Ja genauso hab ich das auch gesagt ;)
Das ist für mich ein Zylinder mit dreieckiger Grundfläche, der Boden ist eine der Seitenflächen, die Grundflächen sind an den Seiten! Kannste dir das irgendwie vorstellen, was ich mein?
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:15 Sa 25.08.2007 | | Autor: | vagnerlove |
Hallo
Ich würde anstatt Zylinder vielleicht Prisma sagen, dann wären auch wahrscheinlich die Unklarheiten beseitigt.
Man kann hier den Punkt A als den 0-Punkt eines Koordinatensystems definieren. Außerdem liegt AB auf der x-Achse.
Dann gilt (da ABC ein gleichschenkliges Dreieck ist):
A(a,b)=a*b
A(x)=(8m-2x)*f(x)
Nun gilt es nur noch f(x) zu bestimmen.
wir wissen, dass f(x) eine lineare Funktion ist und durch 0|0 geht.
Die Steigung m ist: m=4,8m/4m=1,2
-->
f(x)=1,2x
wir erhalten:
A(x)=(8-2x)*1,2x
Gruß
Reinhold
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Sa 25.08.2007 | | Autor: | oli_k |
Das ist für mich ein Kreiszylinder ;)
Zylinder müssen nur dieselben Grundflächen haben und mit parallelen Geraden verbunden sein.
Oli
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
Ich weiß gar nicht, wie dieses Gebilde heißt, aber die Grundfläche ist für mich ein Rechteck, das bei der Aufgabe aber gar nicht beachtet werden muss, weil wir einfach nur das größtmögliche Rechteck in einem gleichschenkligen Dreieck suchen. Und der Rest ergibt sich aus der "Tiefe" des Dachbodens, die hier gar nicht gegeben ist.
