Maximierung eines Trapez < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Kroete |
| Aufgabe | | In einem Halbkreis mit dem Rasius r soll ein gleichschenkliges Trapez eingezeichnet werden, und zwar so, dass die größere der beiden parallelen Seiten mit dem Durchmesser es Halbkreises zusammenfällt. Der Flächeninhalt des Trapezes soll ein Maximum annehmen. |
Ich habe diese Aufgabe schon versucht mit Hilfe von kongruenten Drecken zu lösen, doch ds hilft mir nicht weiter.
Die hauptbedingung ist: [mm] A=\bruch{1}{2}*(a+c)*h
[/mm]
Doch die Nebenbedingung fehlt mir! Wäre Dankbar für die Nebenbedingung, den Rest müsste ich selber hinkriegen!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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ich weiss zwar nicht ob die grundseite bei dir a oder b ist,jedenfalls ist die grundseite gleich r. versuch einfach eine variable anders auszudrücken,dann leitest du ab und setzt es gleich null dann haste eine seite.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Kroete |
Aber genau das ist mein Problem! Also die Grundseite des Trapez ist bei mir auf dem Durchmesser des Kreises, das heißt a=2r. Doch dann hab ich noch h und c als unbekannte Variablen und da hab ich keinen Bezug zu wie ich die mit einer anderen Formel umformen soll! Ich bräuchte also die Nebenbedingung!
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man kann c auch anders beschreiben:
[mm] c=\wurzel{r^2 + h^2} [/mm] und dann x 0.5
und dann setzt du ein, h behandelst du dann wie eine ganz normale zahl,fällt also bei der ableitung im grunde weg. dann haste nur noch c
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mi 13.09.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
das habe ich jetzt nicht verstanden. bitte etwas ausführlicher, damit ich es auch verstehe.
wieso ist [mm] c=\wurzel{r^2 + h^2} [/mm] ?
klar, ich kann vom mittelpunkt aus eine senkrechte ziehen (h) und ggf. diese bis zum schnittpunkt mit dem kreis verlängern. das wäre dann r=h+x [ggf. für spätere betrachtungen].
ich kann auch ein rechtwinkliges dreieck bilden kreismittelpunkt (Punkt M), von M senkrecht nach unten zu Punkt B (MB = h) und von M zum Trapezpunkt C (MC = r), und von B nach C (BC = c/2).
dann ist [mm] (c/2)^2=r^2-h^2 [/mm]
[mm] c^2/4=r^2-h^2 [/mm]
[mm] c^2=4*(r^2-h^2)
[/mm]
[mm] c1=2*\wurzel{r^2 - h^2}
[/mm]
[mm] [c2=-2*\wurzel{r^2 - h^2} [/mm] fällt weg, da c2>0 sein muss.]
A= ((a+c)/2 )*h
[mm] f(h)=(2r+2*\wurzel{r^2 - h^2})*h/2 [/mm]
[mm] f(h)=2*(r+\wurzel{r^2 - h^2})*h/2
[/mm]
[mm] f(h)=r+\wurzel{r^2 - h^2}*h
[/mm]
[mm] f(h)=rh+h*\wurzel{r^2 - h^2}
[/mm]
1. ableitung
produktregel (u'v + v'u) und kettenregel
[mm] f'(h)=r+1*(\wurzel{r^2 - h^2}+h*((0,5*\wurzel{r^2 - h^2})*(-2h))
[/mm]
[mm] f'(h)=r+(\wurzel (r^2 [/mm] - [mm] h^2)-h^2*\wurzel{r^2 - h^2}
[/mm]
nur wie finde ich jetzt die nullstellen der 1. ableitung? sieht mir alles ein wenig kompliziert aus?!
die frage ist nach wie vor offen!
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bei meiner antwort hab ich einen fehler gemacht,sorry.die eine seite ist nicht gleich r,das muss man nochmal anders schreiben,aber ich hoffe das grundprinzip hast du verstanden.
aber zu dem anderen: mein pc kennt das wurzelzeichen nicht,deshalb habe ich versucht das anders zu erklären. das sollte heißen,dass man die wurzel von dem,was in der klammer stand, ziehen sollte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Do 14.09.2006 | | Autor: | hase-hh |
Die Frage ist nach wie vor offen! Bitte ein Stück auf meine Frage eingehen, etwas konkreter. bin ich auf dem richtigen Weg? gibt es eine einfachere Lösung...? s.o.! Danke.
klar ist mir, dass c und h von einander abhängen, allerdings wenn
c=2r dann ist h=0 => Flächeninhalt minimal.
h=r dann ist c=0 => kein trapez mehr, sondern ein dreieck...
vielleicht hilft ja auch der einheitskreis?
dies ein paar krause gedanken.
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Der Flächeninhalt des Trapezes sei [mm]F[/mm]. Dann gilt:
[mm]F = \frac{1}{2} \left( 2r + c \right) \cdot h[/mm]
Nach Pythagoras ist
[mm]h^2 = \frac{1}{4} \left( 4r^2 - c^2 \right)[/mm]
Rechentechnisch ist es einfacher, [mm]F^2[/mm] statt [mm]F[/mm] zu maximieren. Also wird die Hauptbedingung quadriert und [mm]h^2[/mm] nach der Pythagoras-Gleichung substituiert:
[mm]f(c) = F^2 = \frac{1}{16} \left( 2r + c \right)^2 \cdot \left( 4r^2 - c^2 \right) = \frac{1}{16} \left( 2r + c \right)^3 \left( 2r - c \right)[/mm]
Jetzt nach der Produktregel differenzieren und im Ergebnis [mm](2r+c)^2[/mm] ausklammern. Dieser Faktor kann nicht 0 werden, da ja [mm]c[/mm] positiv sein muß. Dann steht die Lösung da.
Ergänzung
Man kann die Aufgabe auch mittels Trigonometrie lösen. Wenn [mm]ABCD[/mm] das Trapez mit [mm]AB[/mm] als Kreisdurchmesser und [mm]M[/mm] der Kreismittelpunkt ist, so betrachte man den Winkel [mm]\varphi = BMC[/mm]. Die Standardbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck führen auf
[mm]c = 2r \cos{\varphi} \, , \ \ h = r \sin{\varphi}[/mm]
so daß für den Flächeninhalt [mm]F = \frac{1}{2} \left( 2r + c \right) \cdot h[/mm] nach Substitution und Vereinfachung
[mm]F = r^2 \left( 1 + \cos{\varphi} \right) \, \sin{\varphi} \, , \ \ 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}[/mm]
gilt. Nun wird differenziert und mittels trigonometrischem Pythagoras [mm]\sin^2{\varphi}[/mm] eliminiert. Man erhält die Gleichung:
[mm]2 \cos^2{\varphi} + \cos{\varphi} - 1 = 0[/mm]
[mm]\left( 2 \cos{\varphi} - 1 \right) \left( \cos{\varphi} + 1 \right) = 0[/mm]
Im fraglichen Bereich existiert nur eine Lösung. Und ein Vergleich mit den Randwerten zeigt, daß dort ein Maximum liegen muß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Do 14.09.2006 | | Autor: | hase-hh |
Hallo,
vielen Dank für Deine Antwort. Leider komme ich imme rnoch nicht auf die Maximumstelle.
Also, ich bilde die 1. Ableitung von
f(c) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] (2r + [mm] c)^3 [/mm] (2r -c)
f'(c) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] [ (2r + [mm] c)^3 [/mm] * (-1) + 3 * (2r + [mm] c)^2 [/mm] * (2r - c) ]
f'(c) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] [ - (2r + [mm] c)^3 [/mm] + 3 * (2r + [mm] c)^2 [/mm] * (2r - c) ]
f'(c) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] * (2r + [mm] c)^2 [/mm] * [ - (2r + c) + 3 * (2r - c) ]
f'(c) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] * (2r + [mm] c)^2 [/mm] * [ - 2r - c + 6r - 3c ]
f'(c) = [mm] \bruch{1}{16} [/mm] * (2r + [mm] c)^2 [/mm] * [ 4r - 4c ]
f'(c) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * (2r + [mm] c)^2 [/mm] * [ r - c ]
und da (2r + c) > 0 ist, ist die einzige nullstelle bei c=r.
achso, geht ja doch...
f''(c) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [ 2*(2r + c)*(r-c) + (2r + [mm] c)^2 [/mm] *(-1)]
f''(c=r) = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [ 2*3r*0 - [mm] (3r)^2] [/mm] <0 => MAXIMUM
vielleicht am besten in die Hauptbedingung einsetzen:
A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (2r + r) * [mm] \wurzel{r^2 - \bruch{1}{4} r^2}
[/mm]
A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 3r * [mm] \bruch{wurzel{3}}{2} [/mm] * r
A [mm] \approx [/mm] 1,30 [mm] r^2
[/mm]
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