Maximierungsproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 So 02.02.2014 | | Autor: | Mathics |
| Aufgabe | Betrachten Sie folgendes Maximierungsproblem:
max f = max lnx + lny + lnz
u.d.N. px+qy+hz = m
p,q,h,m [mm] \in \IR
[/mm]
x,y,z,p,q,h,m > 0
Gegeben ist ein stationärer Punkt. Hat dieses Problem eine Lösung? |
Hallo,
man kann hier nicht mit dem Extremwertsatz argumentieren, da der Definitionsbereich aufgrund des x,y,z,p,q,h,m > 0 nicht abgeschlossen ist, oder?
Folglich muss man überprüfen, ob die Lagrange Funktion konkav ist.
LG
Mathics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 So 02.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Betrachten Sie folgendes Maximierungsproblem:
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> max f = max lnx + lny + lnz
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> u.d.N. px+qy+hz = m
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> p,q,h,m [mm]\in \IR[/mm]
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> x,y,z,p,q,h,m > 0
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> Gegeben ist ein stationärer Punkt. Hat dieses Problem eine
> Lösung?
> Hallo,
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> man kann hier nicht mit dem Extremwertsatz argumentieren,
> da der Definitionsbereich aufgrund des x,y,z,p,q,h,m > 0
> nicht abgeschlossen ist, oder?
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> Folglich muss man überprüfen, ob die Lagrange Funktion
> konkav ist.
Hallo Mathics,
für diese Geschichte fehlt mir der erforderliche fachliche Background auf Hochschulniveau.
ABER:
1)
lnx + lny +lnz =ln(xyz).
ln(xyz) ist maximal, wenn auch xyz maximal ist, denn die ln-Funktion ist streng monoton steigend.
2)
px+qy+hz = m beschreibt eine Ebene im [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Da der ganze Variablenkram positiv ist, beschränkt sich diese Ebene auf eine Dreiecksfläche im ersten Oktanten. Die Eckpunkte des Dreiecks werden von den Schnittpunkten der gegebenen Ebene mit dem Achsen gebildet.
Das Produkt xyz steht für das Volumen eines Quaders, welcher eine Ecke im Ursprung hat, bei dem drei vom Ursprung ausgehende Kanten auf den Achsen liegen, und bei dem der Punkt (x,y,z) der Endpunkt der vom Ursprung ausgehenden Raumdiagonalen ist und in dem genannten Dreieck liegt. Für einen dieser Punkte muss das Quadervolumen xyz maximal sein, denn an den Rändern der Fläche ist es jeweils 0 und im Inneren positiv.
Gruß Abakus
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