Maximierungsproblem < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | | Sie wollen eine rechteckige, nach oben geöffnete Kiste der Breite x, der Länge y und der Höhe z bestimmen, die maximales Volumen V=V(x,y,z) bei konstanter Oberfläche [mm] O=O(x,y,z)=12m^{2} [/mm] besitzen soll. Wie müssen Sie dazu die Maße wählen? Um zu begründen, dass Ihre Lösung tatsächlich ein Maximum ist, betrachten Sie das Maximierungsproblem auf der Menge M:={(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}|x,y,z [/mm] in [0,6]} und untersuchen Sie das Volumen auf dem Rand [mm] \partial [/mm] M dieser Menge. |
Hallo ihr Lieben!
Der erste Teil der Aufgabe war kein Problem. Hab die Nebenbedingung nach einer Variable umgestellt und das zweidimensionale Problem auf Extremwerte untersucht. Habe für x,y,z auch jeweils Werte herausbekommen. Nur wie mach ich das jetzt mit dem Rand und der Menge M?
Hab allgemein das Problem, dass ich bei mehrdimensionalen Problemen nicht weiß, wie ich die Randpunkten überprüfen soll.
Ich hoffe, ihr könnt mir einen kleinen Tipp geben.
liebe Grüße
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Hallo Franzie,
> Sie wollen eine rechteckige, nach oben geöffnete Kiste der
> Breite x, der Länge y und der Höhe z bestimmen, die
> maximales Volumen V=V(x,y,z) bei konstanter Oberfläche
> [mm]O=O(x,y,z)=12m^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
besitzen soll. Wie müssen Sie dazu die
> Maße wählen? Um zu begründen, dass Ihre Lösung tatsächlich
> ein Maximum ist, betrachten Sie das Maximierungsproblem auf
> der Menge M:={(x,y,z) [mm]\in \IR^{3}|x,y,z[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
in [0,6]} und
> untersuchen Sie das Volumen auf dem Rand [mm]\partial[/mm] M dieser
> Menge.
> Hallo ihr Lieben!
>
> Der erste Teil der Aufgabe war kein Problem. Hab die
> Nebenbedingung nach einer Variable umgestellt und das
> zweidimensionale Problem auf Extremwerte untersucht. Habe
> für x,y,z auch jeweils Werte herausbekommen. Nur wie mach
> ich das jetzt mit dem Rand und der Menge M?
> Hab allgemein das Problem, dass ich bei mehrdimensionalen
> Problemen nicht weiß, wie ich die Randpunkten überprüfen
> soll.
Nun, der Rand ist ein Quader, da 8 Eckpunkte.
Der Quader ist ja gegeben durch:
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=s*\pmat{6 \\ 0 \\ 0}+t*\pmat{0 \\ 6 \\ 0}+u*\pmat{0 \\ 6 \\ 0}[/mm]
Für die Untersuchung auf dem Rand werden 2 Koordinaten festgehalten (die Eckpunkte) und die 3. Koordinate läuft.
Jede der festgehalten Koordinaten kann nur die Werte 0 und 6 bzw. die Parameterwerte 0 und 1 annehmen.
Zunächst wird die Nebenbedingung hiermit geprüft. Gibt es hier keine Lösung im angegebenen Bereich, so gibt es auch kein Extrema hinsichtlich des Volumens.
> Ich hoffe, ihr könnt mir einen kleinen Tipp geben.
>
> liebe Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 11.05.2009 | | Autor: | Franzie |
Okay, danke erstmal für die bildliche Darstellung mit dem Quader. Jetzt ist mir erstmal klar, wie der Rand eigentlich aussehen muss.
Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, überlege ich mir anhand der Darstellung des Quaders
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] s*\vektor{6 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 6 \\ 0}+u*\vektor{0 \\ 0 \\ 6} [/mm] also zunächst, welche Eckpunkte (Koordinaten) mein Quader hat.
Und die gefundenen Koordinaten der Punkte setze ich dann einfach in meine Nebenbedingung ein und schaue, ob diese erfüllt ist?
Sollte dies tatsächlich der Fall sein, bin ich an dieser Stelle schon fertig mit der Untersuchung oder muss ich da noch was prüfen?
liebe Grüße und vielen Dank für den Tipp
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Hallo Franzie,
> Okay, danke erstmal für die bildliche Darstellung mit dem
> Quader. Jetzt ist mir erstmal klar, wie der Rand eigentlich
> aussehen muss.
> Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, überlege ich
> mir anhand der Darstellung des Quaders
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = [mm]s*\vektor{6 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 6 \\ 0}+u*\vektor{0 \\ 0 \\ 6}[/mm]
> also zunächst, welche Eckpunkte (Koordinaten) mein Quader
> hat.
> Und die gefundenen Koordinaten der Punkte setze ich dann
> einfach in meine Nebenbedingung ein und schaue, ob diese
> erfüllt ist?
Ganz so ist das nicht, zwei Koordinaten sind hier durch die Eckpunkte vorgegeben.
Versuche nun, durch Einsetzen in die Nebenbedingung, die fehlende Koordinate zu ermitteln.
Liegt diese hier nicht im Bereich [mm]\left[0,6\right][/mm] bist Du an dieser Stelle schon fertig.
Liegt dieses Koordinate in diesem Bereich, dann sind weitere Untersuchungen nötig,
bzw. untersuche was sich ergibt, wenn diese in die Hauptbedingung eingesetzt wird.
> Sollte dies tatsächlich der Fall sein, bin ich an dieser
> Stelle schon fertig mit der Untersuchung oder muss ich da
> noch was prüfen?
>
> liebe Grüße und vielen Dank für den Tipp
Gruß
MAthePower
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