Maximum-Likelihood-Schätzer < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Do 03.01.2008 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | Seien [mm] (X_i)_{i\in\IN} [/mm] unabhängig und gleichverteilt auf [mm] (\nu,a\nu) [/mm] mit einer bekannten reellen Zahl a>1. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] \nu. [/mm] |
Die Dichte der Gleichverteilung ist:
[mm] f(x)=1_{\nu \le x \le a\nu}\bruch{1}{a\nu-\nu}
[/mm]
Ich betrachte das Produkt:
[mm] \produkt_{i=1}^{n}1_{\nu \le x_{i} \le a\nu}\bruch{1}{a\nu-\nu}
[/mm]
= [mm] (\bruch{1}{a\nu-\nu})^n
[/mm]
Nun wende ich den ln an und erhalte:
n [mm] ln(\bruch{1}{a\nu-\nu})= n(ln(1)-ln(a\nu-\nu))
[/mm]
= -n [mm] ln(a\nu-\nu)
[/mm]
Nun leite ich nach [mm] \nu [/mm] ab und erhalte:
[mm] -n\bruch{1}{a\nu-\nu}(a-1)=-\bruch{n}{\nu}
[/mm]
Dies setze ich gleich 0 und da habe ich dann ein Problem. Geht das?
Oder muss ich mich an der Stelle mit der Indikatorfunktion auseinandersetzen?
Ich weiß ja a>1 Also wird die Funktion nicht negativ.
Je kleiner [mm] \nu [/mm] desto größer wird die Funktion also. Da [mm] \nu\in [max(X_i),\infty)
[/mm]
muss ich also [mm] \nu=max(X_i) [/mm] setzen. Ist das so richtig überlegt?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Do 03.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Seien [mm](X_i)_{i\in\IN}[/mm] unabhängig und gleichverteilt auf
> [mm](\nu,a\nu)[/mm] mit einer bekannten reellen Zahl a>1. Bestimmen
> Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\nu.[/mm]
> Die Dichte der Gleichverteilung ist:
>
> [mm]f(x)=1_{\nu \le x \le a\nu}\bruch{1}{a\nu-\nu}[/mm]
>
> Ich betrachte das Produkt:
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}1_{\nu \le x_{i} \le a\nu}\bruch{1}{a\nu-\nu}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> = [mm](\bruch{1}{a\nu-\nu})^n[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Nun wende ich den ln an und erhalte:
> n [mm]ln(\bruch{1}{a\nu-\nu})= n(ln(1)-ln(a\nu-\nu))[/mm]
>
> = -n [mm]ln(a\nu-\nu)[/mm]
>
> Nun leite ich nach [mm]\nu[/mm] ab und erhalte:
> [mm]-n\bruch{1}{a\nu-\nu}(a-1)=-\bruch{n}{\nu}[/mm]
>
> Dies setze ich gleich 0 und da habe ich dann ein Problem.
> Geht das?
Nein.
>
> Oder muss ich mich an der Stelle mit der Indikatorfunktion
> auseinandersetzen?
Ja.
> Ich weiß ja a>1 Also wird die Funktion nicht negativ.
> Je kleiner [mm]\nu[/mm] desto größer wird die Funktion also.
> Da [mm]\nu\in [max(X_i),\infty)[/mm]
>
> muss ich also [mm]\nu=max(X_i)[/mm] setzen. Ist das so richtig
> überlegt?
Moin jumape,
mit Differenzieren kommst du hier nicht zum Ziel, da die
Likelihoodfunktion ein Randmaximum hat.
Du hast die Likelihoodfunktion schon richtig aufgestellt:
[mm] $L(\nu)= \produkt_{i=1}^{n}1_{\nu \le x_{i} \le a\nu}\bruch{1}{a(\nu-1)}$
[/mm]
Dieses Produkt verschwindet genau dann nicht, wenn sowohl das Minimum der
Beobachtungen [mm] $x_{(1)}$ [/mm] als auch das Maximum [mm] $x_{(n)}$ [/mm] im Intervall
[mm] $[\nu,a \nu]$ [/mm] liegen. Somit muss [mm] $\nu$ [/mm] im Intervall [mm] $[x_{(n)}/a,x_{(1)}]$
[/mm]
liegen. In jenem Intervall ist aber [mm] $L(\nu)$ [/mm] monoton fallend, so dass der
ML-Schaetzer [mm] $X_{(n)}/a$ [/mm] ist.
Damit ist deine zweite Ueberlegung fast richtig. Intuitiv macht das
Ergebnis auch Sinn: Es ist zu vermuten, dass das Maximum der Werte in der
Naehe von [mm] $a\nu$ [/mm] zu finden sein wird. Will man [mm] $\nu$ [/mm] schaetzen, so ist
das Maximum durch (das bekannte) a zu dividieren.
vg Luis
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