Maximum-Likelihood-Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:26 So 04.01.2009 | | Autor: | lena17 |
| Aufgabe | Beim Schwarzfahren mit der Bahn werde man mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p
erwischt. Nun sitzen drei ertappte Schwarzfahrer nach der Kontrolle zusammen und erzählen sich, dass
sie vorher bereits 4, 8 bzw. 15 mal unbestraft ohne Fahrschein gefahren sind.
(a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis in Abhängigkeit von p.
(b) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für p in dem Modell und den Maximum-Likelihood-
Schätzwert unter diesen Beobachtungen.
Hinweis: Die Aufgabe führt auf die Schätzung des Parameters bei der geometrischen Verteilung. Sehen
Sie die einzelnen Kontrollen als unabhängig an. |
Hallo!
Könnten Sie mir vielleicht Tipps geben, womit ich bei der Lösung anfagen soll ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 So 04.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin lena17,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wir sind dir gerne behilflich beim Loesen deiner Aufgabe. Allerdings
haben wir die Spielregel, dass die Fragesteller in eine gewisse Vorleistung treten und uns zunaechst mitteilen, was ihnen bereits dazu eingefallen ist. Also?
vg Luis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:12 So 04.01.2009 | | Autor: | lena17 |
Ok, dann meine Idee zur a) ist folgende:
Ich betrachte das Ganze als Ziehen ohne zurücklegen.
0,5 soll dann die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass der Schwarzfahrer beschtraft wird. Beim 4-maligen fahren ist dann die W-keit: 0.5*0.5*0.5*0.5
Stimmt das? Oder gehe ich in die ganz falsche richtung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 So 04.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Ok, dann meine Idee zur a) ist folgende:
> Ich betrachte das Ganze als Ziehen ohne zurücklegen.
>
> 0,5 soll dann die Wahrscheinlichkeit dafür sein, dass der
> Schwarzfahrer beschtraft wird. Beim 4-maligen fahren ist
> dann die W-keit: 0.5*0.5*0.5*0.5
>
> Stimmt das? Oder gehe ich in die ganz falsche richtung?
Aber du sollst doch die Wsk in Abhaengigkeit von p zu beschreiben. M.E.
lautet diese Wsk [mm] $(1-p)^4p\times(1-p)^8p\times(1-p)^{15}p$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 04.01.2009 | | Autor: | lena17 |
Danke, aber ich habe noch Frage. Warum muss man in der Formel jede W-keit jeweils mit p multiplizieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 04.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Beispielsweise war der erste Schwarzfahrer viermal unbehelligt geblieben,
bevor er erwischt wurde. Die Wsk hierfuer ist [mm] $P(U_1\cap U_2\cap U_3\cap U_4\cap E_5)= [/mm] (1-p)^4p$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 04.01.2009 | | Autor: | lena17 |
Jetzt möchte ich Maximum-Likelihood-Schätzer und Schätzwert bestimmen. In der Aufgabestellung steht als Tipp, das ich geometrische Verteilung benutzen soll. Gibt es dafür die Tabelle mit Werten(ähnlich wie Tabelle für Binomialverteilung)?
Dann habe ich noch eine Frage zur Aufgabe. Bedeutet die Aufgabestellung, dass der 1. Person fünftes mal beschtraft wurde? 2. Person zum neuten Mal und der 3. Person zum 16. Mal? Spielt das überhaupt hier eine Rolle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 So 04.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Jetzt möchte ich Maximum-Likelihood-Schätzer und Schätzwert
> bestimmen. In der Aufgabestellung steht als Tipp, das ich
> geometrische Verteilung benutzen soll. Gibt es dafür die
> Tabelle mit Werten(ähnlich wie Tabelle für
> Binomialverteilung)?
Die gibt es nicht, und du brauchst sie auch nicht.
>
> Dann habe ich noch eine Frage zur Aufgabe. Bedeutet die
> Aufgabestellung, dass der 1. Person fünftes mal beschtraft
> wurde? 2. Person zum neuten Mal und der 3. Person zum 16.
> Mal?
Ja. Habe meine letzte Zuschrift entsprechend korrigiert.
> Spielt das überhaupt hier eine Rolle?
Was meinst du damit? ML laueft darauf hinaus p so zu bestimmen, dass
die Wsk fuer das beboschtete Ergebnis, also $ [mm] (1-p)^4p\times(1-p)^8p\times(1-p)^{15}p [/mm] $ maximal wird. Es ist also die Likelihoodfunktion
$L(p)= [mm] (1-p)^4p\times(1-p)^8p\times(1-p)^{15}p=(1-p)^{27}p^3 [/mm] $
zu maximieren.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 So 04.01.2009 | | Autor: | lena17 |
danke ok, dann weiter
log (L(P)) = 27 log(1-p) * 3 log(p)
stimmt das? oder muss man die Logarithmen addieren und warum?
Weiter fürs Maximieren bilde ich 1. Ableitung und setzte das gleich 0
log(L(P))' = [mm] \bruch{27}{1-p} [/mm] * [mm] \bruch{3}{p} [/mm] = 0
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
