Maximum-Likelihood-Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:22 So 08.02.2009 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Seien [mm][mm] X_1,...,X_n[/mm] [mm] unabhängig, identisch verteilt mit Dichte
[mm]f_{\Theta}(x)=\left\{\begin{matrix}
\Theta x^{-\Theta-1, & \mbox{wenn }x>1\mbox{ } \\
0, & \mbox{sonst} \mbox{ }
\end{matrix}\right[/mm]
wobei [mm]\Theta>0[/mm]. Bestimmen sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\Theta[/mm]
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[mm]L_{\Theta}(x_1,...,x_n)=f(x_1)*...*f(x_n)=\Theta x_1^{-\Theta-1}*...*\Theta x_n^{-\Theta-1}
=\produkt_{i=1}^{n}\Theta x_i^{-\Theta-1}=\Theta^n\produkt_{i=1}^{n}x_i^{-\Theta-1}
=\Theta^n(\produkt_{i=1}^{n}x_i)^{-\Theta-1}[/mm]
hier weiß ich jetzt nicht mehr weiter, vermutlich noch mehr umformen, oder??
und dann doch theoritisch logerithmieren, also:
[mm]log L_{\Theta}(x_1,...,x_n)=nlog\Theta+(-\Theta-1)log(\produkt_{i=1}^{n}x_i)[/mm]wobei ich [mm]log(\produkt_{i=1}^{n}x_i)=\produkt_{i=1}^{n}logx_i[/mm] setzen kann und damit durch ausmultiplizieren noch [mm]nlog\Theta-\Theta\produkt_{i=1}^{n}logx_i-\produkt_{i=1}^{n}logx_i[/mm]hätte.
dann müsste ich doch nach [mm] \Theta [/mm] ableiten und so ein Maximum berechen.
Ableitung wäre dann doch [mm]\bruch{n}{\Theta}+\produkt_{i=1}^{n}logx_i[/mm]
und [mm]\hat\Theta=\bruch{n}{\produkt_{i=1}^{n}logx_i}[/mm] das ist dann auch wirklich ein Maximum, wenn man es in die 2. Ableitung ([mm]\bruch{-n}{\Theta^2}[/mm])einsetzt und damit doch mein gesuchter Maximum-Likelihood-Schätzer, oder??????
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 So 08.02.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin ella87
Fast alles ok, bis auf $ [mm] \log(\produkt_{i=1}^{n}x_i)=\sum_{i=1}^{n}\log x_i [/mm] $ und nicht
$ [mm] log(\produkt_{i=1}^{n}x_i)=\produkt_{i=1}^{n}logx_i [/mm] $.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 08.02.2009 | | Autor: | ella87 |
ohja, natürlich!
noch ein,zwei kleine fragen:
es ist doch korrekt, dass ich hier log und nicht ln schreibe, oder?
die aufgabe wurde in einer sonderübung als klausurvorbereitung bei uns gerechnet und der lösungsweg sieht da so aus (die schleppen immer noch die [mm]\I1[/mm] mit; muss man das??)
[mm]L_{\Theta}(x_1,...,x_n)=\produkt_{i=1}^{n}( \Theta x_i^{-\Theta-1}*\I1_{{x>1}})= \Theta^n (\produkt_{i=1}^{n} x_i)^{-\Theta-1} \produkt_{i=1}^{n} \I1_{{x_i >1}}[/mm]
[mm]log L_{\Theta}(x_1,...,x_n)= (-\Theta-1) * log(\Theta^n(\produkt_{i=1}^{n}x_i)*\I1_{min x_i<1})[/mm]
und leiten dann natürlich mit produktregel ab und kommen auf
[mm]n*\Theta^{n-1} (\produkt_{i=1}^{n}x_i)^{- \Theta-1}*1_{min x_i >1} + (-1) ln (\produkt_{i=1}^{n} x_i)(\produkt_{i=1}^{n})^{- \Theta-1}*1_{min x_i >1} [/mm]
und die Lösung ist dann [mm]\bruch{n}{ln(\produkt_{i=1}^{n}x_i)}[/mm]
warum ln? was ist denn richtig? ln oder log? und muss ich die 1 immer mitziehen oder reicht das wenn ich sage, dass ich nur x>1 betrachte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 So 08.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> warum ln? was ist denn richtig? ln oder log?
Beides ist okay. Mit [mm] $\log$ [/mm] wird vielfach implizit der natuerliche Logarithmus [mm] $\ln$ [/mm] gemeint. Egal, welchen Logarithmus du waehlst, es wird nichts am Ergebnis aendern.
> und muss ich
> die 1 immer mitziehen oder reicht das wenn ich sage, dass
> ich nur x>1 betrachte?
Nein, brauchst du nicht, da [mm] $x_1,\dots,x_n$ [/mm] eine Stichprobe
ist und somit alle [mm] $x_i>1$ [/mm] sind.
vg Luis
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