Maximum-Likelihood-Schätzer < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Do 17.02.2011 | | Autor: | LuisA44 |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1,...,X_n [/mm] unabhängig und identisch verteilt. Das Wahrscheinlichkeitsmaß [mm] P^X [/mm] habe die Dichte
[mm] f_\nu [/mm] (x)= [mm] \bruch{1}{\nu}x^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x) [/mm] mit [mm] \nu \in (0,\infty). [/mm] Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm] \nu. [/mm] |
Hallo Forum,
es bereitet mir Probleme bei dieser Aufgabe den Maximum-Likelihood-Schätzer zu bestimmen.
Also ich habe versucht:
Betrachte zunächst:
[mm] \produkt_{i=1}^{n} \bruch{1}{\nu}{x_i}^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x_i)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\nu^n}\produkt_{i=1}^{n}{x_i}^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x_i)
[/mm]
So und hier geht es auch schon los :(
Irgendwie muss ich ja das [mm] \nu [/mm] aus dem Produktzeichen rauskriegen, weil ich es ja nachdem ich den Logarithmus angewendet habe ableiten muss oder?
Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen!
Liebe Grüße
LuisA44
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Hallo LuisA44,
> Seien [mm]X_1,...,X_n[/mm] unabhängig und identisch verteilt. Das
> Wahrscheinlichkeitsmaß [mm]P^X[/mm] habe die Dichte
> [mm]f_\nu[/mm] (x)= [mm]\bruch{1}{\nu}x^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x)[/mm] mit [mm]\nu \in (0,\infty).[/mm]
> Bestimmen Sie den
> Maximum-Likelihood-Schätzer für [mm]\nu.[/mm]
> Hallo Forum,
>
> es bereitet mir Probleme bei dieser Aufgabe den
> Maximum-Likelihood-Schätzer zu bestimmen.
>
> Also ich habe versucht:
>
> Betrachte zunächst:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n} \bruch{1}{\nu}{x_i}^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x_i)[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{\nu^n}\produkt_{i=1}^{n}{x_i}^{-\bruch{1}{\nu}-1}1_{(1,\infty)}(x_i)[/mm]
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> So und hier geht es auch schon los :(
> Irgendwie muss ich ja das [mm]\nu[/mm] aus dem Produktzeichen
> rauskriegen, weil ich es ja nachdem ich den Logarithmus
> angewendet habe ableiten muss oder?
Das sieht doch gut aus bisher.
Das oben ist deine Likelihoodfunktion [mm]L(\nu)[/mm]
Nimm nun an, dass alle [mm]X_i>1[/mm] sind, ansonsten ist das Produkt ja =0 und es gibt nichts zu maximieren.
Damit also [mm]L(\nu)=\frac{1}{\nu^n}\cdot{}\prod\limits_{i=1}^{n}X_i^{-\frac{1}{\nu}-1}[/mm]
Maximiere dann die Log-Liklihoodfunktion [mm]\log(L(\nu))[/mm]
[mm]\log\left(\frac{1}{\nu^n}\cdot{}\prod\limits_{i=1}^{n}X_i^{-\frac{1}{\nu}-1}\right)[/mm]
Das nun mit den Logarithmusregeln auseinanderfieseln und dann nach [mm]\nu[/mm] ableiten und [mm]\hat\nu[/mm] bestimmen ...
Dann kontrollieren, ob [mm]\frac{\partial^2}{\partial\nu^2}\log(L(\hat\nu))<0[/mm] ist.
> Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen!
>
> Liebe Grüße
> LuisA44
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 17.02.2011 | | Autor: | LuisA44 |
Hey,
Dank erstmal für deine Antwort.
Nun ja ok, wenn ich dann weiter mache:
[mm] l(\nu)=-n*ln(\nu)+(-\bruch{1}{\nu}-1)\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)
[/mm]
[mm] l'(\nu_)=-\bruch{n}{\nu}+\bruch{1}{\nu^2}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)
[/mm]
[mm] l''(\nu)= \bruch{n}{\nu^2}-\bruch{2}{\nu^3}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)
[/mm]
wenn ich dann [mm] l'(\nu)=0 [/mm] setze
[mm] \bruch{n}{\nu}=\bruch{1}{\nu^2}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)
[/mm]
[mm] \gdw \hat\nu [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)
[/mm]
Ist das soweit richtig? Weil irgendwie kommt bei mir nicht [mm] l''(\hat\nu)<0 [/mm] raus?
Liebe Grüße
LuisA44
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Hallo nochmal,
> Hey,
> Dank erstmal für deine Antwort.
>
> Nun ja ok, wenn ich dann weiter mache:
>
> [mm]l(\nu)=-n*ln(\nu)+(-\bruch{1}{\nu}-1)\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
>
> [mm]l'(\nu_)=-\bruch{n}{\nu}+\bruch{1}{\nu^2}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
>
> [mm]l''(\nu)= \bruch{n}{\nu^2}-\bruch{2}{\nu^3}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
>
> wenn ich dann [mm]l'(\nu)=0[/mm] setze
>
> [mm]\bruch{n}{\nu}=\bruch{1}{\nu^2}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
>
> [mm]\gdw \hat\nu[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}ln(X_i)[/mm]
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
So muss das am Samstag einfach klappen!
>
> Ist das soweit richtig? Weil irgendwie kommt bei mir nicht
> [mm]l''(\hat\nu)<0[/mm] raus?
Hmm,
Bedenke, dass wegen [mm]\hat\nu=\frac{1}{n}\cdot{}\sum X_i[/mm] dann [mm]\sum X_i=n\cdot{}\hat\nu[/mm] ist.
Setze das mal für die Summe in [mm]l''[/mm] ein und für die anderen [mm]\nu[/mm] dann das [mm]\hat\nu[/mm]
Ich bekomme [mm]-\frac{n}{\hat\nu^2}[/mm]
Und das ist [mm]<0[/mm]
> Liebe Grüße
> LuisA44
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Fr 18.02.2011 | | Autor: | LuisA44 |
> Nein, ich muss ja selber auch ran ...
>
> :-(
>
Oi ja dann dir auch viel Glück 
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
